牛奶冻曲线

牛奶冻曲线(blancmange curve)又称为高木曲线,因为在1901年由高木贞治所研究。另外也称为 Takagi-Landsberg 曲线,一种更一般化的曲线,以高木贞治Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶冻曲线也是 de Rham 曲线的特例。

牛奶冻函数的图形

定义

定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为

 

其中   是三角波函数,定义为  

而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的:

 

其中 是一个变数使 


性质

收敛与连续性

  )为参数无限和 对所有 绝对收敛:因为对所有  ,从而

 

 为参数的 也是连续的。因为可以如下证明 均匀收敛 

  对所有  

其值在 够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理英语Uniform limit theorem 连续。

次可加性

 具有次可加性

抛物线

  的图形是抛物线,且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。

可微性

对所有  在任意不是二进分数 是可微的,且其结果是

 

其中  二进制表达式的序列,也就是满足 的序列。