牛奶冻曲线

定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为

${\displaystyle b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}$ 

其中 ${\textstyle s}$  是三角波函数，定义为 ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|}$ 。

而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的：

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),}$ 

其中${\displaystyle w}$ 是一个变数使${\displaystyle |w|<1}$ 。

•  

  parameter w=2/3

•  

  parameter w=1/2

•  

  parameter w=1/3

•  

  parameter w=1/4

•  

  parameter w=1/8

收敛与连续性

以${\displaystyle w}$ （${\displaystyle |w|<1}$ ）为参数无限和${\displaystyle T_{w}(x)}$ 对所有${\displaystyle x}$ 绝对收敛：因为对所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 有${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$ ，从而

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$ 。

以${\displaystyle w}$ 为参数的${\displaystyle T_{w}(x)}$ 也是连续的。因为可以如下证明${\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$ 均匀收敛到${\displaystyle T_{w}}$ ：

${\displaystyle \left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$  对所有 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 。

其值在${\displaystyle n}$ 够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理（英语：Uniform limit theorem），${\displaystyle T_{w}}$ 连续。

次可加性

${\displaystyle T_{w}}$ 具有次可加性。

抛物线

当${\textstyle w={\frac {1}{4}}}$ ，${\displaystyle T_{w}}$ 的图形是抛物线，且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。

可微性

对所有${\displaystyle 0<w<1/2}$ ，${\displaystyle T_{w}}$ 在任意不是二进分数的${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 是可微的，且其结果是

${\displaystyle T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},}$ 

其中${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$ 是${\displaystyle x}$ 的二进制表达式的序列，也就是满足${\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$ 的序列。