Sorgenfrey平面

在拓扑学，Sorgenfrey平面是一个经常引用到的反例^[1]。它是两条Sorgenfrey线的积（Sorgenfrey线是赋予了下限拓扑的实数线）。Sorgenfrey线和Sorgenfrey平面是以美国数学家 Robert Sorgenfrey命名。

Sorgenfrey平面（现在开始用 ${\displaystyle \mathbb {S} }$表示）的其中一组基是所有“包含左边、左下顶点、下边而不包含其他边、顶点”的长方形。${\displaystyle \mathbb {S} }$上的开集则是这种长方形的并集。

${\displaystyle \mathbb {S} }$能作为很多拓扑学上听起来很可能正确的陈述的反例子。其一，它是林德勒夫空间的积，但它自己不是林德勒夫空间。其二，反对角线${\displaystyle \Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}}$是${\displaystyle \mathbb {S} }$上的一个不可数离散子集，所以它是不可分的，但${\displaystyle \mathbb {S} }$是可分的。这个例子展示了可分空间的闭子集不一定是可分的。其三，${\displaystyle K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}}$和${\displaystyle \Delta \setminus K}$是闭集，而且可以证明它们不能被邻域分离，所以${\displaystyle \mathbb {S} }$不是正则空间。这展示了正则空间的积不一定是正则的，甚至展示了更强的结果：有限个完美正则空间的积也不一定是正则的。