边界 (拓扑学)

边界，（英语：boundary），是点集拓朴的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更严格的说，它是属于 S 的闭包但不是 S 的内点的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的边界点（英语：boundary point）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和， $\partial S$ 。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

集合（浅蓝色）和它的边界（深蓝色）。

S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。

定义

拓扑空间 $(X,\tau )$ 的子集 $S$ 的边界（记为 $\partial S$ ）有一些常用及等价的定义:

$S$ 的闭包减去 $S$ 的内部： $\partial S={\bar {S}}-S^{o}$ 。
$S$ 的闭包和其补集的闭包的交集： $\partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}$ 。
$\partial S$ 是所有满足以下条件的点 $x$ 的集合： $x$ 的每个邻域都包含至少一个点属于 $S$ ，且至少一个点不属于 $S$ 。这些点称为 $S$ 的边界点。

性质

集合的边界是闭集。
p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
某集合的边界等于其补集的边界。
某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

若 $X=[0,5)\,$ ，则 $\partial X=\{0,5\}$ 。
$\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$
$\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$
$\partial \emptyset =\emptyset$
在 R³ 中，若 Ω=x²+y² ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R² 中，∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。

引用

J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000.

S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.