U-统计量

U-统计量是统计学中一类特定的、具有对称性的统计量,它在估计理论中扮演重要角色。名称中的“ U”为无偏(unbiased)之意。在初等统计学中,U-统计量与最小方差无偏估计量 (UMVUE) 有密切联系。

U-统计量的一个重要性是,对概率分布来说,其可估计参数的最小方差无偏估计量 是一个U-统计量。 [1][2] 因此通过研究U-统计量的一般性质,可以系统地了解这些估计量的统计学性质。[3]

U-统计量在非参数统计中尤其重要,不少用于估计和统计检验的统计量,在形式上都是U-统计量。U-统计量通常具有良好的渐近正态性,这方便了基于它的统计推断。 近年来,U-统计量在研究复杂的随机过程随机网络类型数据的随机性质方面,发挥了作用。[4][5][6]

目前,统计学家们对U-统计量性质的了解,几乎全都基于Hoeffding发表于1948年的经典论文[7]。在这篇论文里,Hoeffding给出了U-统计量最重要的性质——它的ANOVA分解

定义

定义   为一个函数,其具有对称性,即交换任意   的位置,  的值保持不变。对随机变量   ,基于   的U-统计量定义如下:

 

这里,  称为U-统计量的核函数(Kernel function),而核函数的维数   称为该U-统计量的度(degree)[8]

两样本U-统计量

定义   为一个函数,其对    分别具有对称性,即交换任意   的位置或交换任意   的位置,  的值保持不变(但不能随意交换   )。对随机变量   ,基于   的两样本U-统计量定义如下:

 

目前在机器学习中,最常见的情形是  ,例如能量距离最大平均差异(MMD)

Hoeffding的ANOVA分解定理

定理表述

Hoeffding的ANOVA分解定理是现代U-统计量理论的基础。[9]为表述该定理,定义: 。 对所有   ,定义投影函数

 

然后定义正交化投影函数

  ,等等,每一个   都定义为相应的  减去之前定义过的所有  ,直至最后一个函数  

 

Hoeffding的ANOVA分解定理的内容是:

 

分解项的性质

所有的正交化投影函数   都满足:

 

因此,所有的分解项之间是互不相关的[9],并且度为   的分解项之平均的阶为  .

在大多数应用中,一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质,可以得到如下的两项ANOVA分解式:

 

定理应用

  • U-统计量的渐近正态性是Hoeffding的ANOVA分解定理的简单推论。具体而言,有如下结论:记   ,则:
 

同时,分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差,和对其进行t-标准化

  • 由该定理出发,在不同强度的假设条件下,可以用一项或两项的Edgeworth展开来高精度地逼近U-统计量的分布。[8][10][11][12]


具体例子

  • 度为1的例子:令   ,则U-统计量  是样本均值。
  • 度为2的例子:令   ,则U-统计量
 

称为“平均成对偏差”。

  • 另一个度为2的例子:令   ,则U-统计量有如下变形:
 

这正是人们熟知的样本方差  

  • 度为3的例子:样本偏度定义中的分子项:
 

展开后可以写成一个U-统计量。

  • 在机器学习中,用核函数方法进行一样本或两样本非参数统计检验时,检验统计量是一个能量距离最大平均差异(MMD),两者均为U-统计量或表达式包含两样本U-统计量。[13][14]

参见

  • V-统计量

参考文献

  1. ^ Cox & Hinkley (1974),p. 200, p. 258
  2. ^ Hoeffding (1948), between Eq's(4.3),(4.4)
  3. ^ U-Statistics : Theory and Practice.. Routledge. ISBN 9781351405850. 
  4. ^ Page 508 in Koroljuk, V. S.; Borovskich, Yu. V. Theory of U-statistics. Mathematics and its Applications 273 Translated by P. V. Malyshev and D. V. Malyshev from the 1989 Russian original. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. 1994: x+552. ISBN 0-7923-2608-3. MR 1472486. 
  5. ^ Pages 381–382 in Borovskikh, Yu. V. U-statistics in Banach spaces. Utrecht: VSP. 1996: xii+420. ISBN 90-6764-200-2. MR 1419498. 
  6. ^ Page xii in Kwapień, Stanisƚaw; Woyczyński, Wojbor A. Random series and stochastic integrals: Single and multiple. Probability and its Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. 1992: xvi+360. ISBN 0-8176-3572-6. MR 1167198. 
  7. ^ Hoeffding, Wassily. A Class of Statistics with Asymptotically Normal Distribution. The Annals of Mathematical Statistics. 1948-09, 19 (3): 293–325. doi:10.1214/aoms/1177730196. 
  8. ^ 8.0 8.1 Bickel, P. J.; Gotze, F.; van Zwet, W. R. The Edgeworth Expansion for $U$-Statistics of Degree Two. The Annals of Statistics. 1986-12, 14 (4): 1463–1484. doi:10.1214/aos/1176350170. 
  9. ^ 9.0 9.1 Maesono, Yoshihiko. Edgeworth expansions of a studentized U-statistic and a jackknife estimator of variance. Journal of Statistical Planning and Inference. 1997-05, 61 (1): 61–84. doi:10.1016/S0378-3758(96)00148-6. 
  10. ^ Putter, Hein; van Zwet, Willem R. Empirical Edgeworth expansions for symmetric statistics. The Annals of Statistics. 1998-08, 26 (4): 1540–1569. doi:10.1214/aos/1024691253. 
  11. ^ Jing, Bing-Yi; Wang, Qiying. Edgeworth expansion for U -statistics under minimal conditions. The Annals of Statistics. 2003-08, 31 (4): 1376–1391. doi:10.1214/aos/1059655916. 
  12. ^ Yuan Zhang; Dong Xia. Edgeworth expansions for network moments. The Annals of Statistics. 2022-04-01, 50 (2): 726–753. doi:10.1214/21-AOS2125. 
  13. ^ Székely, Gábor J.; Rizzo, Maria L. Energy statistics: A class of statistics based on distances. Journal of Statistical Planning and Inference. 2013-08, 143 (8): 1249–1272. doi:10.1016/j.jspi.2013.03.018. 
  14. ^ Gretton, Arthur; Borgwardt, Karsten M.; Rasch, Malte J.; Schölkopf, Bernhard; Smola, Alexander. A Kernel Two-Sample Test. Journal of Machine Learning Research. 2012, 13 (25): 723–773 [2020-06-26]. (原始内容存档于2022-02-04).