普通最小二乘法

在回归分析当中，最常用的估计${\displaystyle \beta }$（回归系数）的方法是普通最小二乘法（英语：ordinary least squares，简称OLS），它基于误差值之上。用这种方法估计${\displaystyle \beta }$，首先要计算残差平方和（residual sum of squares；RSS），RSS是指将所有误差值的平方加起来得出的数：

${\displaystyle RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}\,}$

${\displaystyle \beta _{0}}$与${\displaystyle \beta _{1}}$的数值可以用以下算式计算出来：

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{1}={\frac {\sum (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{0}={\bar {y}}-{\widehat {\beta }}_{1}{\bar {x}}}$

当中${\displaystyle {\bar {x}}}$为${\displaystyle x}$的平均值，而${\displaystyle {\bar {y}}}$为${\displaystyle y}$的平均值。

假设总体的误差值有一个固定的方差，这个方差可以用以下算式估计：

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\varepsilon }^{2}={\frac {RSS}{n-2}}.\,}$

这个数就是均方误差（mean square error），这个分母是样本大小减去模型要估计的参数的量。这个回归模型当中有两个未知的参数（${\displaystyle \beta _{0}}$与${\displaystyle \beta _{1}}$）。^[1]

而这些参数估计的标准误差（standard error）为：

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\beta _{0}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {{\bar {x}}^{2}}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}={\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}{\sqrt {\frac {\sum x_{i}^{2}}{n}}}}$

有了上面这个模型，研究者手上就有会有${\displaystyle \beta _{0}}$与${\displaystyle \beta _{1}}$的估计值，就可以用这个算式来预测${\displaystyle Y}$的数值。