芬斯拉不等式

芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$，面积为${\displaystyle S}$，则

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S}$ （当且仅当${\displaystyle a=b=c}$时，等号成立）……（1）

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设${\displaystyle AD=h}$，${\displaystyle BD=m}$，${\displaystyle DC=n}$，则有

${\displaystyle a^{2}=(m+n)^{2}}$，${\displaystyle b^{2}=h^{2}+n^{2}}$，${\displaystyle c^{2}=h^{2}+m^{2}}$，${\displaystyle S={\frac {(m+n)h}{2}}}$，

∵${\displaystyle [h-{\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)h}{2}}]^{2}+[{\tfrac {(m-n)h}{2}}]^{2}\geq 0}$ ……（2）

等号当且仅当${\displaystyle h={\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)}{2}}}$，且${\displaystyle m=n}$时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

${\displaystyle (m+n)^{2}+h^{2}+n^{2}+h^{2}+m^{2}\geq 2{\sqrt {3}}(m+n)h}$，

∴ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S}$。（当${\displaystyle a=b=c}$时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当${\displaystyle a=b=c}$时，正三角形的面积最大，此时有${\displaystyle m=n}$，${\displaystyle h={\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)}{2}}}$，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}$

${\displaystyle =a^{2}+b^{2}+(a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)-2{\sqrt {3}}ab\sin C}$

${\displaystyle =2(a^{2}+b^{2}-2ab\sin(C+{\frac {\pi }{6}}))}$

${\displaystyle \geq 2(a^{2}+b^{2}-2ab)=2(a-b)^{2}\geq 0}$

当且仅当${\displaystyle a=b}$，∠C=60°，即${\displaystyle a=b=c}$时，等号成立。