调日法

已知${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$ 

则${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}}$ 

推而广之：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {ma+kc}{mb+kd}}<{\frac {c}{d}}}$ ，其中 m,k 为正整数。

欲求精确分数${\displaystyle f_{n}}$ 使${\displaystyle |f-f_{n}|<\delta }$ ，其中${\displaystyle \delta }$ 为误差界限。

令${\displaystyle f_{0}={\frac {a}{b}}}$ 为弱率，${\displaystyle f_{1}={\frac {c}{d}}}$ 为强率。

第一步，根据下列方法求得一个近似分数

${\displaystyle f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}}$ 

如果${\displaystyle f_{2}>f}$ ，则将${\displaystyle f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}\ }$  作为新的强分数，和旧弱分数 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\ }$ 调日得到近似分数：

${\displaystyle f_{3}={\frac {a+c+a}{b+d+b}}\ }$ 

如果${\displaystyle f_{2}<f}$ ， 则将${\displaystyle f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}\ }$  作为新的弱分数，和旧强分数 ${\displaystyle {\frac {c}{d}}\ }$  调日得到近似分数：

${\displaystyle f_{3}={\frac {a+c+c}{b+d+d}}\ }$ 

反复操作，到${\displaystyle |f-f_{n}|<\delta }$  为止。

另外，还可以直接求m,k的数值，加快逼近速度： 若${\displaystyle {\frac {a}{b}}<x<{\frac {c}{d}}}$ ，且 ${\displaystyle x-{\frac {a}{b}}=d_{1}}$ 以及${\displaystyle {\frac {c}{d}}-x=d_{2}}$ 

如果有正整数m,k满足：${\displaystyle {\frac {kd}{mb}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 

那么就有：${\displaystyle x={\frac {ma+kc}{mb+kd}}}$ 

证明如下：由条件可得

${\displaystyle {\begin{aligned}bd_{1}&=bx-a\\dd_{2}&=c-dx\end{aligned}}}$ 

而根据${\displaystyle {\frac {kd}{mb}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 又有

${\displaystyle mbd_{1}=kdd_{2}}$ 

代入上面的两个关系式可得：

${\displaystyle m(bx-a)=k(c-dx)}$ 

解关于x的一元一次方程就有结果：

${\displaystyle x={\frac {ma+kc}{mb+kd}}}$ 

何承天调日法被同时代和后代数学家如赵爽，祖冲之，一行等运用。

朔望月

何承天将 ${\displaystyle {\frac {9}{17}}=0.529412...\ }$ 作为朔望月零数部分的弱率，以${\displaystyle {\frac {26}{49}}=0.530612...\ }$ 作为朔望月零数部分的强率。运用调日法，最后得到 ${\displaystyle {\frac {399}{752}}\ }$ ，根据他的观测数值0.530585，首先计算d1,d2

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=0.530585-0.529412&=0.001173\\d_{2}&=0.530612-0.530585&=0.000027\end{aligned}}}$ 

寻找满足以下关系的m,k值：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {49k}{17m}}&={\frac {1173}{27}}\\{\frac {k}{m}}&={\frac {1173\times 17}{49\times 27}}&\approx {}15.07\ldots \end{aligned}}}$ 

可以令(m,k)=(1,15)

从而得到：

${\displaystyle {\frac {1\times 9+15\times 26}{1\times 17+15\times 49}}={\frac {399}{752}}}$ 

727年唐朝天文学家一行在《大衍历》中用同样的弱率和强率求得 ${\displaystyle {\frac {1613}{3040}}}$ 

闰周问题

南北朝数学家祖冲之熟悉调日术，他以${\displaystyle {\frac {4}{11}}}$ 为弱率， 以${\displaystyle {\frac {7}{19}}}$ 为强率，通过调日法得到${\displaystyle {\frac {144}{391}}}$ 

近点月

何承天以${\displaystyle {\frac {56}{101}}}$ 为弱率，以${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$ 为强率，用调日法求得近点月为${\displaystyle {\frac {417}{752}}}$ 。祖冲之也得到高精度的数值${\displaystyle {\frac {14631}{26377}}}$ 

圆周率约率和密率

祖冲之求圆周率约率和密率的方法已失传。有学者认为他用刘徽割圆术求得圆周率的约率和密率 ；也有学者认为祖冲之有可能用何承天的调日法求得圆周率的约率和密率的分数表示式^[2]。 祖冲之对调日法是熟悉的，他自己就用过调日法改进何承天近点月${\displaystyle {\frac {417}{752}}}$ 为更加精确的${\displaystyle {\frac {14631}{26377}}}$ 

取${\displaystyle \pi \approx 3.1416}$ ，先只考虑小数部分，根据${\displaystyle {\frac {1}{8}}<0.1416<{\frac {1}{7}}}$ ，用调日法进行计算：

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=0.1416-0.125&=0.0166\\d_{2}&=0.142857-0.1416&=0.001257\end{aligned}}}$ 

寻找满足以下关系的m,k值：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {7k}{8m}}={\frac {0.0166}{0.001257}}\\{\frac {k}{m}}={\frac {8\times 0.0166}{7\times 0.001257}}&\approx {}15.09\ldots \end{aligned}}}$ 

所以可以令(m,k)=(1,15)，从而可以得到结果：

${\displaystyle 3+{\frac {1\times 1+1\times 15}{1\times 8+15\times 7}}=3+{\frac {16}{113}}={\frac {355}{113}}}$ 

祖冲之密率 ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$  和π之误差为0.0000002668。下一个^{[来源请求]}比之更为精确的分数为 ${\displaystyle {\frac {52163}{16604}}=3.1415923874}$  误差为 -0.0000002662，分子、分母都比祖冲之密率的分子、分母复杂得多。

祖冲之很可能先用刘徽割圆术求出圆周率。刘徽割圆术计算需要多次开平方运算，例如用八次割圆术得到 ${\displaystyle \pi \approx {\frac {3927}{1250}}=3.1416}$ ^[3]， 无论分子分母都比祖冲之密率的分子分母复杂，但还不如密率的分数表示准确。用十一次割圆术可得到和密率相当精确但比较复杂的分数，再通过调日法求得准确而又简单的分数式。

调日法后传入日本。日本数学家关孝和（Seki, Takakazu, 1642-1708）在《括要算法》一书中称之为零约术，并用之得出圆周率的近似分数为 ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ ^[4]，正是祖冲之的密率。

黄金分割：

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...}$ 

用调日法求分数表示：

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},{\frac {21}{13}},{\frac {34}{21}},{\frac {55}{34}},{\frac {89}{55}},{\frac {144}{89}},{\frac {233}{144}},{\frac {377}{233}},{\frac {610}{377}},{\frac {987}{610}},{\frac {1597}{987}},{\frac {2584}{1597}},{\frac {4181}{2584}}}$ 

分母1,2,3,5,8,13,21,....正是斐波那契数列。

• √2=1.4142135623 ~=${\displaystyle {99 \over 70}}$ 
• √3=1.7320508075 ~=${\displaystyle {71 \over 41}}$ 
• √5=2.2360679775 ~=${\displaystyle {199 \over 89}}$ 
• √10=3.162277660 ~=${\displaystyle {117 \over 37}}$ 
• ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ =1.059463094~=${\displaystyle {107 \over 101}}$ 
• e=2.718281828 ~=${\displaystyle {2721 \over 1001}}$ 
• 普朗克常数 ~=${\displaystyle {53 \over 8}}$ x10^-34
• 万有引力常数 G~=${\displaystyle {227 \over 34}}$ x10^-11
• 阿伏伽德罗常量~=${\displaystyle {241 \over 40}}$ x10²³
• 玻尔兹曼常数~=${\displaystyle {29 \over 21}}$ x10^-23