广义最小残量方法

需要求解的线性方程组记为

${\displaystyle Ax=b\,}$ 。

假设矩阵A是n${\displaystyle \times }$ n阶的可逆的。进一步，假设b是标准化的，即||b|| = 1 (在这篇文章中，||·||是Euclidean范数)。

这个问题的m阶Krylov子空间是

${\displaystyle K_{m}=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{m-1}b\}\,}$ 。

GMRES通过使得残量Ax_m − b最小的向量x_m ∈ K_m来逼近Ax = b的精确解。

但是，向量b, Ab, …, A^m−1b几乎是线性相关的。因此，用Arnoldi迭代方法求得的这组K_m的标准正交基

${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{m}\,}$ 

来取代上面的那组基。所以，向量x_m ∈ K_m写成x_m = Q_my_m，其中y_m ∈ R^m且Q_m是由q₁, …, q_m组成的n${\displaystyle \times }$ m矩阵。

Arnoldi过程也产生一个 (m+1)${\displaystyle \times }$ m阶上Hessenberg矩阵${\displaystyle {\tilde {H}}_{m}}$ 满足

${\displaystyle AQ_{m}=Q_{m+1}{\tilde {H}}_{m}\,}$ 。

因为${\displaystyle Q_{m}}$ 是正交的，我们有

${\displaystyle \|Ax_{m}-b\|=\|{\tilde {H}}_{m}y_{m}-\beta e_{1}\|\,}$ ，

其中

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0)\,}$ 

是R^m+1的标准基的第一个向量，并且

${\displaystyle \beta =\|b-Ax_{0}\|\,}$  ，

其中${\displaystyle x_{0}}$ 是初始向量(通常是零向量)。因此，求使得残量

${\displaystyle r_{m}={\tilde {H}}_{m}y_{m}-\beta e_{1}}$ 。

的范数最小的${\displaystyle x_{m}}$ 。这是一个m阶线性最小二乘问题。

这就是GMRES方法。在迭代的每一步中：

1. 做一步Arnoldi迭代方法；
2. 寻找使得||r_m||最小的${\displaystyle y_{m}}$  ；
3. 计算${\displaystyle x_{m}=Q_{m}y_{m}}$  ；
4. 如果残量不够小，重复以上过程。

在每一步迭代中，必须计算一次矩阵向量积Aq_m。对于一般的n阶稠密矩阵，这要计算复杂度大约2n²次浮点运算。但是对于稀疏矩阵，这个计算复杂度能减少到O(n)。进一步，关于矩阵向量积，在m次迭代中能进行O(m n)次浮点运算。

第m次迭代获得在Krylov子空间K_m下的最小残量。因为每个子空间包含于下一个子空间中，所以残量单调递减。在第n次迭代后，其中n是矩阵A的阶数，Krylov空间K_n是完整的Rⁿ。因此，GMRES方法达到精确解。然而，问题在于：在极少的几次迭代后(相对于n)，向量x_m几乎已经是精确解的一个很好的逼近。

但是，在一般情况下这是不会发生的。事实上，Greenbaum，Pták和Strakoš的理论说明了对于每一个单调减少的序列a₁, …, a_n−1, a_n = 0 ，能够找到一个矩阵A对于所有m满足||r_m|| = a_m ，其中r_m是上面所定义的残量。特别的，有可能找到一个矩阵，使得前n − 1次迭代的残量一直保持为常数，而只在最后一次迭代时达到零。

在实验中，GMRES方法经常表现得很好。在特殊的情况下这能够被证明。如果A是正定的，则

${\displaystyle \|r_{m}\|\leq \left(1-{\frac {\lambda _{\mathrm {min} }(A^{T}+A)}{2\lambda _{\mathrm {max} }(A^{T}+A)}}\right)^{m/2}\|r_{0}\|}$ ，

其中${\displaystyle \lambda _{\mathrm {min} }(M)}$ 和${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }(M)}$ 分别为矩阵${\displaystyle M}$ 的最小和最大特征值。

如果A是对称的并且是正定的，则

${\displaystyle \|r_{m}\|\leq \left({\frac {\kappa _{2}^{2}(A)-1}{\kappa _{2}^{2}(A)}}\right)^{m/2}\|r_{0}\|}$ 。

其中${\displaystyle \kappa _{2}(A)}$ 记为A在Euclidean范数下的条件数。

一般情况下，其中A是非正定的，则

${\displaystyle \|r_{m}\|\leq \inf _{p\in P_{m}}\|p_{m}(A)\|\leq \kappa _{2}(V)\inf _{p\in P_{m}}\max _{\lambda \in \sigma (A)}|p(\lambda )|\,}$ ，

其中P_m记为次数不超过m且p(0) = 1的多项式的集合，V是A的谱分解中的矩阵，而σ(A)是A的谱。粗略的说，当A的特征值聚集在远离原点的区域且A离正规不太远时，收敛速度较快。^[2]

所有的不等式只界定残量，而不是实际误差(精确解和当前迭代x_m之间的距离)。

同其他迭代方法一样，为了加快收敛，GMRES经常结合预处理方法。

迭代的开销以O(m²)增长，其中m是迭代次数。然而有时候，GMRES方法在k次迭代后重新开始，即x_k又变回初始值。这样的方法叫做GMRES(k)。

对于对称矩阵，Arnoldi迭代方法变成Lanczos迭代方法。对应的Krylov子空间方法叫做Paige和Saunders的最小残量方法(MinRes)。不像非对称的情况，MinRes方法由三项循环关系(three-term recurrence relation)给出，并且同GMRES一样，使残量的范数最小。而对于一般矩阵，Krylov子空间方法不能由短的循环关系(short recurrence relation)给出。

另一类方法由非对称Lanczos迭代方法给出，特别的是BiCG方法。这个利用了three-term recurrence relation，但他们没有达到最小的残量，因此对于这些方法残量不会单调递减。收敛性是不能保证的。

第三类方法由CGS和BiCGSTAB给出。这些也由three-term recurrence relation给出(因此，非最优)。而且可能过早的终止迭代了而没有达到收敛的目的。这些方法的想法是合适的选择迭代序列所产生的多项式。

对于所有矩阵，这三类方法都不是最好的；总有例使得一类方法好于另一类。因而，各种解法应该进行实际的试验，来决定对于给定的问题哪一种是最优的。

GMRES方法的其中一部分是求解向量${\displaystyle y_{m}}$ 使得

${\displaystyle \|{\tilde {H}}_{m}y_{m}-e_{1}\|\,}$ 

最小。这个可以通过计算QR分解来实现：找到一个(m+1)${\displaystyle \times }$ (m+1)阶正交矩阵Ω_m和一个(m+1)${\displaystyle \times }$ m上三角矩阵${\displaystyle {\tilde {R}}_{m}}$ 满足

${\displaystyle \Omega _{m}{\tilde {H}}_{m}={\tilde {R}}_{m}}$ 。

三角矩阵的行数比列数多1，所以它的最后一行由零组成。因此，它能被分解为

${\displaystyle {\tilde {R}}_{m}={\begin{bmatrix}R_{m}\\0\end{bmatrix}}}$ ，

其中${\displaystyle R_{m}}$ 是一个m${\displaystyle \times }$ m阶三角(方)矩阵。

QR分解能够简单的进行下去(update)，从一步迭代到下一步迭代。因为每次的Hessenberg矩阵只在一行零元和一列元素上有所不同：

${\displaystyle {\tilde {H}}_{m+1}={\begin{bmatrix}{\tilde {H}}_{m}&h_{m}\\0&h_{m+1,m}\end{bmatrix}}}$  ，

其中h_m = (h_1m, … h_mm)^T。这意味着，Hessenberg矩阵左乘上Ω_m的扩大矩阵(通过并上零元和单位元素)，所得到的是类似于三角矩阵的矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Omega _{m}&0\\0&1\end{bmatrix}}{\tilde {H}}_{m+1}={\begin{bmatrix}R_{m}&r_{k}\\0&\rho \\0&\sigma \end{bmatrix}}}$ 

这个矩阵可以三角化，如果σ为零。为了修正这个矩阵，需要进行Givens旋转

${\displaystyle G_{m}={\begin{bmatrix}I_{m-1}&0&0\\0&c_{m}&s_{m}\\0&-s_{m}&c_{m}\end{bmatrix}}}$ 

其中

${\displaystyle c_{m}={\frac {\rho }{\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{m}={\frac {\sigma }{\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}}$ 。

通过这个Givens旋转，我们构造

${\displaystyle \Omega _{m+1}=G_{m}{\begin{bmatrix}\Omega _{m}&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ 。

事实上，

${\displaystyle \Omega _{m+1}{\tilde {H}}_{m+1}={\begin{bmatrix}R_{m}&r_{m}\\0&r_{mm}\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{其 中}}\quad r_{mm}={\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}$ 

是一个三角矩阵。

给出了QR分解，最小值问题就容易解决了。注意到

${\displaystyle \|{\tilde {H}}_{m}y_{m}-e_{1}\|=\|\Omega _{m}({\tilde {H}}_{m}y_{m}-e_{1})\|=\|{\tilde {R}}_{m}y_{m}-\Omega _{m}e_{1}\|}$ 。

记${\displaystyle \Omega _{m}e_{1}}$ 为

${\displaystyle {\tilde {g}}_{m}={\begin{bmatrix}g_{m}\\\gamma _{m}\end{bmatrix}}}$ 

其中g_m ∈ R^m和γ_m ∈ R，则

${\displaystyle \|{\tilde {H}}_{m}y_{m}-e_{1}\|=\|{\tilde {R}}_{m}y_{m}-\Omega _{m}e_{1}\|=\left\|{\begin{bmatrix}R_{m}\\0\end{bmatrix}}y-{\begin{bmatrix}g_{m}\\\gamma _{m}\end{bmatrix}}\right\|}$ 。

使得这个表达式最小的向量y为

${\displaystyle y_{m}=R_{m}^{-1}g_{m}}$ 。

再一次，向量${\displaystyle g_{m}}$ 能够简单的进行下去(update)。^[3]

Regular GMRES (python3)

# from "https://github.com/J-N-ch/GMRES_py_restart/blob/master/GMRES_API/GMRES.py"
import numpy as np
import math

class GMRES_API(object):
    def __init__( self,
                  A_coefficient_matrix: np.array([], dtype = float ),
                  b_boundary_condition_vector: np.array([], dtype = float ),
                  maximum_number_of_basis_used: int,
                  threshold = 1.0e-16 ):

        self.A = A_coefficient_matrix
        self.b = b_boundary_condition_vector
        self.maximum_number_of_basis_used = maximum_number_of_basis_used
        self.threshold = threshold

    def initial_guess_input( self, x_input_vector_initial_guess: np.array([], dtype = float ) ):

        self.x = x_input_vector_initial_guess

        try:
            assert len( self.x ) == len( self.b )

        except Exception:

            print(" The input guess vector's size must equal to the system's size !\n")
            print(" The matrix system's size == ", len( self.b ))
            print(" Your input vector's size == ", len( self.x ))
            self.x = np.zeros( len( self.b ) ) 
            print(" Use default input guess vector = ", self.x, " instead of the incorrect vector you given !\n")


    def run( self ):

        n = len( self.A )
        m = self.maximum_number_of_basis_used

        r = self.b - np.dot(self.A , self.x)
        r_norm = np.linalg.norm( r )

        b_norm = np.linalg.norm( self.b )

        self.error = np.linalg.norm( r ) / b_norm
        self.e = [self.error]
        
        # initialize the 1D vectors 
        sn = np.zeros( m )
        cs = np.zeros( m )
        e1 = np.zeros( m + 1 )
        e1[0] = 1.0

        beta = r_norm * e1 
        # beta is the beta vector instead of the beta scalar

        H = np.zeros(( m+1, m+1 ))
        Q = np.zeros((   n, m+1 ))
        Q[:,0] = r / r_norm

        for k in range(m):

            ( H[0:k+2, k], Q[:, k+1] )    = __class__.arnoldi( self.A, Q, k)
            ( H[0:k+2, k], cs[k], sn[k] ) = __class__.apply_givens_rotation( H[0:k+2, k], cs, sn, k)
            
            # update the residual vector
            beta[ k+1 ] = -sn[k] * beta[k]
            beta[ k   ] =  cs[k] * beta[k]

            # calculate and save the errors
            self.error = abs(beta[k+1]) / b_norm
            self.e = np.append(self.e, self.error)

            if( self.error <= self.threshold):
                break


        # calculate the result
        #y = np.matmul( np.linalg.inv( H[0:k+1, 0:k+1]), beta[0:k+1] )
        #TODO Due to H[0:k+1, 0:k+1] being a upper tri-matrix, we can exploit this fact. 
        y = __class__.__back_substitution( H[0:k+1, 0:k+1], beta[0:k+1] )


        self.x = self.x + np.matmul( Q[:,0:k+1], y )

        self.final_residual_norm = np.linalg.norm( self.b - np.matmul( self.A, self.x ) )

        return self.x


    '''''''''''''''''''''''''''''''''''
    '        Arnoldi Function         '
    '''''''''''''''''''''''''''''''''''
    @staticmethod
    def arnoldi( A, Q, k ):
        h = np.zeros( k+2 )
        q = np.dot( A, Q[:,k] )
        for i in range ( k+1 ):
            h[i] = np.dot( q, Q[:,i])
            q = q - h[i] * Q[:, i]
        h[ k+1 ] = np.linalg.norm(q)
        q = q / h[ k+1 ]
        return h, q 

    '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
    '           Applying Givens Rotation to H col           '
    '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
    @staticmethod
    def apply_givens_rotation( h, cs, sn, k ):
        for i in range( k-1 ):
            temp   =  cs[i] * h[i] + sn[i] * h[i+1]
            h[i+1] = -sn[i] * h[i] + cs[i] * h[i+1]
            h[i]   = temp

        # update the next sin cos values for rotation
        cs_k, sn_k, h[k] = __class__.givens_rotation( h[k-1], h[k] )
        
        # eliminate H[ k+1, i ]
        h[k + 1] = 0.0

        return h, cs_k, sn_k

    ##----Calculate the Given rotation matrix----##
    # From "http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn150.pdf"
    # The algorithm used by "Edward Anderson"
    @staticmethod
    def givens_rotation( v1, v2 ):
        if( v2 == 0.0 ):
            cs = np.sign(v1)
            sn = 0.0
            r = abs(v1)
        elif( v1 == 0.0 ):
            cs = 0.0
            sn = np.sign(v2)
            r = abs(v2)
        elif( abs(v1) > abs(v2) ):
            t = v2 / v1 
            u = np.sign(v1) * math.hypot( 1.0, t )  
            cs = 1.0 / u
            sn = t * cs
            r = v1 * u
        else:
            t = v1 / v2 
            u = np.sign(v2) * math.hypot( 1.0, t )  
            sn = 1.0 / u
            cs = t * sn
            r = v2 * u
        return cs, sn, r

    # From https://stackoverflow.com/questions/47551069/back-substitution-in-python
    @staticmethod
    def __back_substitution( A: np.ndarray, b: np.ndarray) -> np.ndarray:
        n = b.size
        if A[n-1, n-1] == 0.0:
            raise ValueError

        x = np.zeros_like(b)
        x[n-1] = b[n-1] / A[n-1, n-1]
        for i in range( n-2, -1, -1 ):
            bb = 0
            for j in range ( i+1, n ):
                bb += A[i, j] * x[j]
            x[i] = (b[i] - bb) / A[i, i]
        return x


    def final_residual_info_show( self ):
        print( "x  =", self.x, "residual_norm =  ", self.final_residual_norm ) 
    
def main():

    A_mat = np.array( [[1.00, 1.00, 1.00],
                       [1.00, 2.00, 1.00],
                       [0.00, 0.00, 3.00]] )

    b_mat = np.array( [3.0, 2.0, 1.0] )

    GMRES_test_itr2 = GMRES_API( A_mat, b_mat, 2, 0.01)

    x_mat = np.array( [1.0, 1.0, 1.0] )
    print("x  =", x_mat)

    # GMRES with restart, 2 iterations in each restart ( GMRES(2) )
    max_restart_counts = 100
    for restart_counter in range(max_restart_counts):
        GMRES_test_itr2.initial_guess_input( x_mat )

        x_mat = GMRES_test_itr2.run()
        print(restart_counter+1," : x  =", x_mat)

    xx = np.matmul( np.linalg.inv(A_mat), b_mat )
    print("ANS : xx =", xx) 


if __name__ == '__main__':
    main()

1. ^ Saad和Schultz
2. ^ Trefethen & Bau, Thm 35.2
3. ^ Stoer and Bulirsch, §8.7.2

• A. Meister, Numerik linearer Gleichungssysteme, 2nd edition, Vieweg 2005, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. doi:10.1137/0907058.
• J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis, 3rd edition, Springer, New York, 2002. 互联网档案馆）, 2nd Edition, SIAM, Philadelphia, 1994
• https://github.com/J-N-ch/GMRES_py_restart （页面存档备份，存于互联网档案馆）