欧拉定理 (几何)

(1)当${\displaystyle d=0}$ 时，表示外心${\displaystyle O}$ 与内心${\displaystyle I}$ 重合，此时易证三角形${\displaystyle \displaystyle ABC}$ 为正三角形，且${\displaystyle R=2r}$ ，因此${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$ 。

(2)当${\displaystyle d}$ 大于${\displaystyle 0}$ 时，请参考右下图：

(a)设三角形${\displaystyle ABC}$ 的外心为${\displaystyle O}$ ，内心为${\displaystyle I}$ ，延长${\displaystyle AI}$ 交外接圆于${\displaystyle L}$ ，则${\displaystyle L}$ 为弧${\displaystyle BC}$ 的中点。连${\displaystyle LO}$ 延长交外接圆于${\displaystyle M}$ ，过${\displaystyle I}$ 作${\displaystyle ID}$ 垂直于${\displaystyle AB}$ ，${\displaystyle D}$ 为垂足，则${\displaystyle ID=r}$ 。易证三角形${\displaystyle \displaystyle ADI}$ 与三角形${\displaystyle \displaystyle MBL}$ 相似，故${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$ ，即${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$ 。所以${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$ 。

(b)连接${\displaystyle \displaystyle BI}$ ，因

${\displaystyle \angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$ ，

${\displaystyle \angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}}$ ，

所以${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$ ，有${\displaystyle \displaystyle BL=IL}$ ，由(a)的结论知${\displaystyle AI\cdot IL=2Rr}$ 。

(c)设${\displaystyle \displaystyle OI}$ 延长线交外接圆于${\displaystyle \displaystyle P,\;\displaystyle Q}$  两点，则${\displaystyle PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr}$ ，所以${\displaystyle \displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$ ，即${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$ 。