三元数

三元数最早在哈密顿描述四元数时被提及^[10]。汉密尔顿知道复数可以解释为平面上的点，他正在寻找一种方法来对三维空间中的点做同样的事情^[11]，即找寻三元数^[6]，因为当时认为发现三元数能对数学、物理等领域能有一定的贡献。^[12]然而经过了反复尝试，最后无法解决三元数在乘法与除法上的问题^[13]，反而是导致了四元数的发现。^[7]

一般的复数由2个单位元素组成，分别是1和i，其中i定义为${\displaystyle i^{2}=-1}$ ，而复数集则定义为${\displaystyle a+bi}$ 。而复数域的乘法定义是良好的，亦即任两个复数相乘后的结果仍为复数，同时复数能表达二维平面上的点。而将此概念扩展到三维空间的话，即加入一个单位元素j，并定义${\displaystyle j^{2}=-1}$ ，同时${\displaystyle i\neq j}$ ，而三元数集则定义为${\displaystyle a+bi+cj}$ 。但在定义这种数系的乘法时会出现一个问题，当i与j相乘时会出现${\displaystyle ij}$ 或${\displaystyle ji}$ 项，这是一个新的元素，并未落在原有定义的${\displaystyle a+bi+cj}$ 中，而使得这样的定义方式无法使其满足群的规则。^[5]

一般而言，定义为${\displaystyle a+bi+cj}$ 且${\displaystyle i\neq j,i^{2}=j^{2}=-1}$ 的三元数无法存在可由以下过程证明：^[2]

令${\displaystyle ij=a+bi+cj}$ ，且a、b、c均为实数，则

${\displaystyle i^{2}j=ai+bi^{2}+cij}$ 

${\displaystyle -j=-b+ai+c(a+bi+cj)}$ 

${\displaystyle -j=-b+ac+(a+bc)i+c^{2}j}$ 

比对两侧j的系数得到${\displaystyle -1=c^{2}}$ ，与先前c为实数的假设矛盾，因此如此定义的三元数无法存在，因为在乘法上会遇到问题，尤其是ij的情况。^[2]

各种三元数的研究均针对此点提出自己的三元数定义，例如部分文献将第二元素和第三元素的积定义为其线性组合来使乘法结果仍在群内^[7]，部分文献则重新定义了运算规则来使三元数能够满足群的规则。^[3]

例如，将三元数定义为${\displaystyle S=a+bi+c\phi }$ ，并令${\displaystyle i^{2}=-1}$ 、${\displaystyle \phi ^{2}=-1}$ 、${\displaystyle i\phi =i+\phi }$ ，如此一来就能定义乘法：^[7]

${\displaystyle S\times S'=aa'-bb'+(ab'+a'b+bc'+b'c-cc')i+(ac'+a'c+bc'+b'c)\phi }$ 

其中${\displaystyle S=a+bi+c\phi }$ ，${\displaystyle S'=a'+b'i+c'\phi }$ 。然而，这样的代数结构的乘法将不具备结合律特性，例如${\displaystyle ii\phi }$ 的情况：

${\displaystyle (ii)\phi =i^{2}\phi =-\phi }$ 

${\displaystyle i(i\phi )=i(i+\phi )=i^{2}+i\phi =-1+i+\phi }$ 

此时可以看到${\displaystyle -\phi \neq -1+i+\phi }$ 这代表${\displaystyle (ii)\phi \neq i(i\phi )}$ 。因此这种方是定义的三元数仅遵循乘法交换律和乘法对加法的分配律。^[7]

另一种三元数的定义则是将ij定义为0。^[14]

• 四元数