三分之一角公式

尺规作图三等分角已被证实不可行，其也与三分之一角公式非规矩数的推导有关，其证明如下：设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度是${\displaystyle \theta }$ 的角，均可以由尺规作图得到 角度为${\displaystyle {\frac {\theta }{3}}}$ 的角。这等价于说在已知单位长度和${\displaystyle \cos {\theta }}$ 的时候能做出${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}}$ 的长度。设L是包含了${\displaystyle \cos {\theta }}$ 和单位长度1的域。用尺规作图可以得到${\displaystyle z=\cos {\frac {\theta }{3}}}$ ，说明域扩张的阶数是2的幂次：

${\displaystyle [\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}}$ 

然而根据三倍角公式：

${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z}$ 。

运用多项式的知识可以证明，${\displaystyle z}$ 在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3^[1]:512。比如说当角度${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$ 时，L就是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ （${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} }$ ）三倍角公式变成：

${\displaystyle 4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}}$ ，即是：

${\displaystyle 8z^{3}-6z-1=0}$ 

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ，所以可以证明${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3}$ 。^[2]然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，无法用尺规作图将任意角三等分^[1]:525-526。${\displaystyle \Box }$ 

而上述三次方程透过三次方程求根公式^[3]求出来的解即为三分之一角公式。

• 利用三倍角公式
• ${\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}$ 
• ${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$ 

把它改为：

• ${\displaystyle \sin \theta =3\sin {\frac {\theta }{3}}-4\sin ^{3}{\frac {1}{3}}\theta \,}$ 
• ${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {1}{3}}\theta \,}$ 

把${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}\,}$ 当成未知数，${\displaystyle \cos \theta \,}$ 当成常数项，解一元三次方程式即可求出

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,}$ 
• ${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$ 
• ${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$ 
• 当-90°≤${\displaystyle \theta \,}$ ≤90°时${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$ 
• 当90°≤${\displaystyle \theta \,}$ ≤450°时${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,}$ 
• 当450°≤${\displaystyle \theta \,}$ ≤630°时${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$ 
• 当630°≤${\displaystyle \theta \,}$ ≤990°时${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$ 

利用欧拉公式可以有效地简化三分之一角公式

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{n}}=\Re \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$ 

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{n}}=\Im \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$ 

所以

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$ 

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$ 

• 三等分角