狄拉克旋量

量子场论中,狄拉克旋量(英语:Dirac spinor)为一双旋量英语bispinor,出现在自由粒子狄拉克方程平面波解中:

自由粒子的狄拉克方程为:

其中(采用自然单位制

相对论性自旋½
是狄拉克旋量,与波矢的平面波有关,
,
为平面波的四维波矢,而为任意的,
为一给定惯性系中的四维空间坐标

正能量解所对应的狄拉克旋量为

其中

为任意的双旋量,
泡利矩阵
为正根号

源自狄拉克方程的推导

狄拉克方程的形式为:

 

推导出4-旋量 前,可先注意矩阵αβ的值:

 

此二为4×4矩阵,与狄拉克矩阵有关。其中0I为2×2矩阵。

下一步则是找出下式的解:

 ,

此处可将ω分为两个2-旋量:

 .

结果

将上方资料带入狄拉克方程,可得

 .

此矩阵方程实际上是为两条联立方程

 
 

对第二条方程求 的解,可得

 .

对第一条方程求 的解,可得

 .

此解可展示粒子反粒子的关系。

细节

2-旋量

2-旋量最常见的定义为:

 

 

泡利矩阵

泡利矩阵

 

利用前述知识可计算出:

 

4-旋量

粒子

粒子具有正能量。选择4-旋量ω的归一化使得 。这些旋量标记为u

 

其中s = 1或2(自旋向上或向下)。

明确地写,其为

 

反粒子

具有“正”能量 的反粒子可视为具有“负”能量而逆着时间行进的粒子;因此,将粒子案例的  增加一负号可得到反粒子的结果:

 

在这里我们选择了 解。明确地写,其为

 

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参考文献

  • (英文)Aitchison, I.J.R.; A.J.G. Hey. Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.). Institute of Physics Publishing. September 2002. ISBN 0-7503-0864-8. 
  • (英文)Miller, David. Relativistic Quantum Mechanics (RQM) (PDF): 26–37. 2008 [2015-04-09]. (原始内容存档 (PDF)于2020-12-19).