ARCH模型

传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设：假定时间序列变量的波动幅度（方差）是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性（volatility）问题，当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

以${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ 表示收益或者收益残差，假设${\displaystyle \varepsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}}$ ，此处${\displaystyle z_{t}\sim iid\ N(0,1)}$ （即独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布）此处序列${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ 建模为

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{p}\varepsilon _{t-p}^{2}}$ 

（其中${\displaystyle \alpha _{0}>0,\alpha _{i}\geq 0,i>0}$ ，即各期收益以非负数线性组合，常数项为正数。

如果方差用ARMA模型来表示，则ARCH模型的变形为GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型为

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\varepsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}}$ 

IGARCH

IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}$ 

条件是：${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}=1}$ 

GARCH-M

GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M（1，1）模型可以表示为：

${\displaystyle y_{t}=~\gamma x_{t}+~\phi ~\sigma _{t-1}+~\epsilon _{t}}$ 

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}}$ 

残差项${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$ 定义为：

${\displaystyle ~\epsilon _{t}\sim \ N(0,\sigma _{t}^{2})}$ 

ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是人尽皆知的工具。

• 波勒斯勒夫（Bollerslev）提出GARCH模型（Generalized ARCH）；
• 利立安（Lilien）提出ARCH-M模型；
• 罗宾斯（Robbins）提出NARCH模型

• 时间序列
• 风险价值