克里斯托菲德斯算法
克里斯托菲德斯算法 (Christofides algorithm) 是旅行商问题在度量空间（即距离对称且满足三角不等式）上的一个近似算法。[1] 该算法可以保证相对最优哈密尔顿回路长度有3/2的近似比。尼科斯·克里斯托菲德斯 (Nicos Christofides) 于1976年首次发表了这个算法，故以他的名字命名之。[2] 截至2017年[update]，这一算法仍然是一般性旅行商问题的算法中近似比最好的结果。
算法
令 G = (V,w) 是旅行商问题的一个实例。 即， G 是一顶点集V 上的一个完全图，函数 w 给 G 的每条边指定了一个非负实边权。 依三角不等式，对每三个顶点 u, v 和 x 都有关系 w(uv) + w(vx) ≥ w(ux).
算法可以被描述为如下伪代码。
近似比
算法所生成的解相对最优解有3/2的近似比。下给出简要证明。
令 C 为图上的最优旅行商回路。注意到，删除 C 上的一条边将产生原图上的一棵生成树，其总权重至少为最小生成树的总权重，亦即 w(T) ≤ w(C)。接下来，给O中的顶点编号，编号顺序依据回路C 上的顶点顺序。再将 C 做划分，得到两个边集：其一包含所有起始点为奇数编号的边，另一个则包含所有起始点为偶数编号的边。这两个边集各对应于 O 上的一个完美匹配，且匹配的总边权不超过边集的总边权。
因为两个边集是 C 的划分，二者中的某一个至多有 C 总边权的一半，因而其对应匹配的总边权不超过 C 总边权的一半。因为没有比最小完美匹配更小的匹配，所以 w(M) ≤ w(C)/2。 T 和 M 的权重总和也就是欧拉回路的权重总和，也就是至多 3w(C)/2。由于做选取近道操作并不增加权重，所有最终输出的总边权也不超过 3w(C)/2.
下界
存在使得克里斯托菲德斯算法近似比任意接近3/2的输入。
一类满足条件的输入由 n 个顶点组成，满足最优环路上边的权重都为 1，且在最优环路上相隔一条边的边都有权重 1 + ε，其中 ε 是一个足够小的正数。未由上述定义给出的权重由两点间的最短路径给出。
最小生成树可以从最优环路中构造，总长 n − 1。唯二的奇数度点是这棵树（此时也是条路径）的两个端点，其完美匹配仅由一条权重近似为 n/2 的单边构成。 生成树和这条单边的并集是一个回路，没有可能的近道 (short-cutting)，且其总边权近似为 3n/2。 而问题的最优解是使用所有权重为1或 1 + ε 的边构造的环路，其总权重为 n + (n − 2)ε，对充分小的 ε 可以无限靠近于 n。[3]
例
| 已知：一个边权满足三角不等式的完全图 | |
| 计算最小生成树T | |
| 计算最小生成树中奇数度的顶点集O | |
| 用 O 中的点构造原完全图上的一个完全子图 | |
| 构造这个子图上的最小完美匹配M | |
| 将生成树和匹配取并 T ∪ M 形成一个欧拉重图 | |
| 计算欧拉回路 | |
| 删除重复顶点，选取近道 (short-cutting)，给出算法的输出 |
参考文献
- ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto, 18.1.2 The Christofides Approximation Algorithm, Algorithm Design and Applications, Wiley: 513–514, 2015.
- ^ Nicos Christofides, Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem, Report 388, Graduate School of Industrial Administration, CMU, 1976.
- ^ Bläser, Markus, Metric TSP, Kao, Ming-Yang (编), Encyclopedia of Algorithms, Springer-Verlag: 517–519, 2008 [2017-12-26], ISBN 9780387307701, （原始内容存档于2016-04-28）.
外部链接
- NIST 克里斯托菲德斯算法定义 （页面存档备份，存于互联网档案馆）