尺度分析 (数学科学)

尺度分析（Scale analysis），或称量级分析（order-of-magnitude analysis），是一个应用于数学科学的工具，用于简化含有多项式的公式。首先确定方程中的某一项的量级。然后一些小到可以忽略不计的项可能会被忽略。

例：综观尺度气象学垂直动量

考虑大气中纳维–斯托克斯的方程式中的垂直坐标方向上的动量方程式

{{\partial w} \over {\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right),\qquad (1)

其中R是地球半径，Ω是地球旋转频率，g 是重力加速度，φ是纬度，ρ是空气密度以及ν是空气的运动粘性系数（我们可以忽视湍流在大气中的影响）。

在综观尺度中，我们可以预期U = 10¹ m.s^-1的水平速度和W = 10^-2 m.s^-1的垂直速度。水平刻度L = 10⁶米，垂直刻度H = 10⁴米。典型的时标是T = L / U = 10⁵秒。对流层的压差为ΔP= 10⁴Pa，空气密度ρ= 10⁰ kg·m^-3。其他物理属性约为：

R = 6.378 × 10⁶ m;

Ω = 7.292 × 10⁻⁵ rad·s^−1;

ν = 1.46 × 10⁻⁵ m²·s^−1;

g = 9.81 m·s^−2.

等式（1）中不同项的估计可以使用它们的尺度来进行：

{\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}

现在我们可以将这些尺度及其值引入等式（1）：

{\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}

=-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\qquad (2)

我们可以看到所有项次（除了右侧的第一个和第二个）都可以忽略不计。因此，我们可以将垂直动量方程式简化为流体静力平衡方程式：

{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}=-g.\qquad (3)