特征裂隙

假设矩阵 ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n},m\geq n}$  的特征值（或奇异值）都是实数，从大到小排序如下： ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n}}$ ，对任意给定的 ${\displaystyle (r,s):1\leq r\leq s\leq n}$ ，考虑第 ${\displaystyle r}$  至第 ${\displaystyle s}$  个特征值（或奇异值）构成的集合 ${\displaystyle {\cal {S}}:\{\lambda _{i}:r\leq i\leq s\}}$ ，那么该集合 ${\displaystyle {\cal {S}}}$  的特征裂隙定义为：

${\displaystyle \delta =\min(\lambda _{r-1}-\lambda _{r},\lambda _{s}-\lambda _{s+1})}$  ^[1]

其中为方便，不妨设 ${\displaystyle \lambda _{0}=+\infty ,\lambda _{n+1}=-\infty }$ .

特征裂隙是对矩阵的线性子空间进行误差分析的基础。特征裂隙较大的 ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ，其对应的特征向量所张成的线性子空间，在矩阵元素被误差项（往往是随机误差）所污染时，具有较好的稳定性。^[2]反之，若特征裂隙为0，则由线性代数知， ${\displaystyle {\cal {S}}}$  对应的特征向量所张成的线性子空间不是唯一的。特征裂隙较小的 ${\displaystyle {\cal {S}}}$  不具有抗拒随机误差的稳定性。

在机器学习中，对谱分类（英语：Spectral clustering）算法的理论性质进行研究时，建立足够的特征裂隙一般来说属于理论分析的核心部分。^[3][4]

需要注意的是，如果目标是估计矩阵的线性子空间，那么特征裂隙具有核心的重要地位。但如果目标是为矩阵本身降噪，那么特征裂隙是不重要的，流行的矩阵估计方法也并不需要任何特征裂隙条件。^[5][6][7]

• Davis-Kahan定理
• 特征扰动（英语：Eigenvalue perturbation）