正交变换

1. 正交变换${\displaystyle T}$ 不会改变向量间的正交性，如果${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和${\displaystyle \mathbf {v} }$ 正交，则${\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}$ 和${\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}$ 亦为正交。

${\displaystyle Proof:}$ 

根据毕氏定理，正交变换后的向量会符合下式：

${\displaystyle \|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}}$ 

因为正交变换属于线性转换：

${\displaystyle \|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}}$ 

正交变换前后向量的长度相同：

${\displaystyle \|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}}$ 

再根据毕氏定理，且和正交：

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}=\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}}$ 

再根据正交变换的性质，正交变换前后向量的长度相同：

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}}$ 

2. 如果${\displaystyle \mathbf {A} }$ 和${\displaystyle \mathbf {B} }$ 皆为正交矩阵，则${\displaystyle \mathbf {AB} }$ 亦为正交矩阵。

${\displaystyle Proof:}$ 

令一正交变换为：

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {ABx} }$ 

正交变换后长度不变：

${\displaystyle \|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {ABx} \|=\|\mathbf {A(Bx)} \|=\|\mathbf {Bx} \|=\|\mathbf {x} \|}$ 

3. 如果${\displaystyle \mathbf {A} }$ 为正交矩阵，${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的反矩阵${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ 亦为正交矩阵。

${\displaystyle Proof:}$ 

令一正交变换为：

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {Ax} }$ 

单位矩阵${\displaystyle \mathbf {I} }$ 和${\displaystyle \mathbf {x} }$ 相乘为${\displaystyle \mathbf {x} }$ 自己，且矩阵和反矩阵相乘为单位矩阵：

${\displaystyle \mathbf {Ix} =\mathbf {AA^{-1}x} =\mathbf {x} }$ 

正交变换后长度不变：

${\displaystyle \|\mathbf {AA^{-1}x} \|=\|\mathbf {A(A^{-1}x)} \|=\|\mathbf {x} \|}$ 

4. 正交变换容易做反运算

${\displaystyle Proof:}$ 

令ㄧ正交矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$ ，${\displaystyle \mathbf {A} }$ 和${\displaystyle \mathbf {A} ^{H}}$ 相乘为一对角矩阵${\displaystyle \mathbf {D} }$ ，其中上标${\displaystyle H}$ 表示Hermitain运算。

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}=\mathbf {D} }$ 

将${\displaystyle \mathbf {D} }$ 乘上自己的反矩阵${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}}$ 可得一单为矩阵${\displaystyle \mathbf {I} }$ 。

${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I} }$ 

又${\displaystyle \mathbf {D} }$ 可分解为${\displaystyle \mathbf {A} }$ 和${\displaystyle \mathbf {A} ^{H}}$ 

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I} }$ 

根据上式，将两侧乘上${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的反矩阵${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ 即可得知的反矩阵知公式。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}}$ 

计算${\displaystyle \mathbf {D} }$ 的反矩阵${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}}$ 比直接求反矩阵容易，只要相对角线之值做倒数即可。如果${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ 的每一行皆为单位向量，则：

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}}$ 

5. 对于正交变换${\displaystyle T}$ ，如果${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和${\displaystyle \mathbf {v} }$ 可以做内积，${\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}$ 和${\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}$ 做内积之值等于${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和${\displaystyle \mathbf {v} }$ 做内积之值。^[2]

${\displaystyle Proof:}$ 

根据极化恒等式：

${\displaystyle \langle {\mathbf {x} ,\mathbf {y} }\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2})}$ 

将上式代入${\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}$ 和${\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}$ ：

${\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} )-T(\mathbf {v} )\|^{2})}$ 

因为${\displaystyle T}$ 为线性转换，转换前做加减法和转换后做加减法之值应相同：

${\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\|^{2})}$ 

正交变换前后向量的长度相同：

${\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|^{2})}$ 

再根代入${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和${\displaystyle \mathbf {v} }$ 之据极化恒等式：

${\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle }$ 

正交变换的种类非常的广，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都属于正交变换。对矩阵做旋转或是镜射也属于正交变换。这里会举出一些简单的正交变换例子。

1. 对于${\displaystyle reflect_{V}()}$ 以subspace ${\displaystyle V}$ 为基准做镜射(${\displaystyle V}$  in ${\displaystyle R^{n}}$ )，令${\displaystyle \mathbf {x} ^{\shortparallel }}$ 为平行之向量，${\displaystyle \mathbf {x} ^{\perp }}$ 为正交之向量^[2]：

${\displaystyle \|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}}$ 

因为${\displaystyle \mathbf {x} ^{\shortparallel }}$ 和${\displaystyle \mathbf {x} ^{\perp }}$ 互为正交，可以根据毕氏定理做分解：

${\displaystyle \|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} \|^{2}}$ 

2. 这里以DFT为例证明DFT矩阵为正交矩阵，对于${\displaystyle N}$ 点DFT，可得一个${\displaystyle N\times N}$ 矩阵，且${\displaystyle \omega ^{n}=e^{j2\pi n/N}}$ ：

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \mathbf {W} }$ 为symmetric矩阵，令的${\displaystyle \mathbf {W} }$ 每个列为：

${\displaystyle \mathbf {w} _{n}={\begin{bmatrix}1&\omega ^{n}&\omega ^{2}n&\cdots &\omega ^{(N-1)n}\end{bmatrix}}}$ 

令任意二列做内积：

${\displaystyle \langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle =\mathbf {w} _{m}\centerdot \mathbf {w} _{n}^{H}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j2\pi km/N}e^{-j2\pi kn/N}\displaystyle ={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j(2\pi km/N)(m-n)}\displaystyle }$ 

上式可以化成pulse function，只有列和自己做内积才为${\displaystyle 1}$ ，即：

${\displaystyle \langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle ={\begin{cases}1,&{\text{if }}m=n\\0,&{\text{if }}m\neq n\end{cases}}}$ 

3. 正交变换可以参数计算变得容易，令${\displaystyle \phi _{n}}$ 为正交矩阵的列，列彼此互相正交，${\displaystyle c_{n}}$ 而为${\displaystyle \phi _{n}}$ 对应之参数，即给定下式中的${\displaystyle y}$ 和${\displaystyle \phi _{n}}$ ，参数${\displaystyle c_{n}}$ 之值可以很容易的计算出来。

${\displaystyle y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle }$ 

如果要求出${\displaystyle c_{m}}$ ，则将上式与${\displaystyle \phi _{m}}$ 做内积：

${\displaystyle \langle y,\phi _{m}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle \displaystyle }$ 

因为在${\displaystyle n\neq m}$ 时，${\displaystyle \phi _{n}}$ 和${\displaystyle \phi _{m}}$ 做内积为0，可得下式：

${\displaystyle \langle y,\phi _{m}\rangle =c_{m}\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }$ 

最后同除${\displaystyle \langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }$ 即可得到对应之参数：

${\displaystyle c_{m}={\frac {\langle y,\phi _{m}\rangle }{\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }}}$ 

4. 在讯号压缩上，对于原始讯号：

${\displaystyle y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle }$ 

假设进行压缩，要压缩成：

${\displaystyle {\hat {y}}=\textstyle \sum _{n=0}^{K-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle }$ 

当${\displaystyle K\leq N}$ 时，${\displaystyle K}$ 越大，${\displaystyle |y-{\hat {y}}|}$ 越小

5. 在通讯应用上，会利用正交基来和讯号做调变，正交的特性会使通道间不会互相干扰。

• 瑕旋转
• 内积空间
• 线性变换
• 正交矩阵
• 酉变换

3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf