比例性质

比例性质是代数学中常用的分式性质,主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明,以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。

合比性质

表述

在一个比例等式中,第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比,等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。

数学表示

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证明

 

 

 

证毕

分比性质

表述

在一个比例等式中,第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比,等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

数学表示

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证明

 

 

 

证毕

合分比性质

表述

在一个比例等式中,第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比,等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

数学表示

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证明

 

 ,则 

 

 

 

证毕

等比性质

表述

在一个比例等式中,两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

数学表示

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证法一

 

 ,则 

 

 

证毕

证法二

 

 

由合比性质 

 

 

证毕

推论

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

比例的线性组合

由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条,分别从合分比性质和等比性质推广得到。

合分比性质的线性组合推论

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证明:

 

 ,则 

 

 

 

证毕

等比性质的线性组合推论一

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证明:

 

 ,则 

 

 

证毕

等比性质的线性组合推论二

已知 ,且有 ,如果 ,则有 

证明:

 ,则 

 

 

证毕