曲波变换

曲波变换(英语:Curvelet Transform)是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广,曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号,通过局域化朝向(Orientation),小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于,对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号,这些信号由具有有界曲率的曲线构成,卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质,[1]这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征,它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时,选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时,曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。 通过假设仅使用 个小波作为几何测试图像的最佳逼近,并将近似误差作为 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换,均方误差的衰减速度约为 。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换,均方误差的衰减速度约为 。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法,分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换(Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT))和基于卷绕的Curvelet变换(Based on the wrapping of specially selected Fourier samples);对于大小为的图片,二者的计算复杂度均为,约是快速傅里叶变换的6-10倍。[2]

曲波的构建

为了构建曲波的基函数  ,并在二维频率平面提供一个平铺(tiling),以下两个方面应当得到考虑:

  1. 考虑频域的极坐标
  2. 构建的曲波基应以近似楔形的方式局部支撑

在尺度 下,楔形元素的数量为 ,也就是说,每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标 ,所以频域的极坐标为  

在极坐标下,我们假设膨胀的基本曲波为:

 

为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑,两个窗函数  需要是紧支撑的。我们可以简单的使 覆盖 ,膨胀的曲波和 使得每一个圆环被 的平移覆盖。

由容许性条件可以得出:

 

为了利用 个楔形平铺一个圆环( 为正整数)我们需要以 为周期的非负窗 在区间 内支撑,使得:

 

 可以简单的由一个标量窗通过 周期化构建为 

所以:

 

为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面,我们需要定义一个低通成分 满足:

 

该部分在单位圆上支撑,此时不考虑旋转。

关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息,参见[1][3][4]

应用

外部链接

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003 (英语). 
  2. ^ Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing. Fast Discrete Curvelet Transforms. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, 5 (3). ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X (英语). 
  3. ^ Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004 (英语). 
  4. ^ Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind. The Curvelet Transform. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, 27 (2). ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453.