曲波变换

为了构建曲波的基函数 ${\displaystyle \phi }$ ，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

1. 考虑频域的极坐标
2. 构建的曲波基应以近似楔形的方式局部支撑

在尺度${\displaystyle 2^{-j}}$ 下，楔形元素的数量为${\displaystyle N_{j}=4\cdot 2^{\lceil {\frac {j}{2}}\rceil }}$ ，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{1},\xi _{2})^{T}}$ ，所以频域的极坐标为${\displaystyle r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}}}$ ，${\displaystyle \omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}}$ 。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}}$ 

为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑，两个窗函数${\displaystyle W}$ 和${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$ 需要是紧支撑的。我们可以简单的使${\displaystyle W(r)}$ 覆盖${\displaystyle (0,\infty )}$ ，膨胀的曲波和${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$ 使得每一个圆环被${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$ 的平移覆盖。

由容许性条件可以得出：

${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).}$ 

为了利用${\displaystyle N}$ 个楔形平铺一个圆环（${\displaystyle N}$ 为正整数）我们需要以${\displaystyle 2\pi }$ 为周期的非负窗${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$ 在区间${\displaystyle \left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]}$ 内支撑，使得：

${\displaystyle \sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1,\omega \in \left[0,2\pi \right)}$ 

${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$ 可以简单的由一个标量窗通过${\displaystyle 2\pi }$ 周期化构建为${\displaystyle V({\frac {N\omega }{2\pi }})}$ 。

所以：

${\displaystyle \sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}}$ 

为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面，我们需要定义一个低通成分${\displaystyle {\hat {\phi }}_{-1}:=W_{0}(|\xi |)}$ 满足：

${\displaystyle W_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum _{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}}$ 

该部分在单位圆上支撑，此时不考虑旋转。

关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息，参见^[1][3][4]。

• 图像处理
• 地震勘探
• 流体力学
• 求解偏微分方程
• 压缩感知

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1. ^ ^{1.0 1.1} Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003 （英语）. 
2. ^ Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing. Fast Discrete Curvelet Transforms. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, 5 (3). ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X （英语）. 
3. ^ Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004 （英语）. 
4. ^ Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind. The Curvelet Transform. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, 27 (2). ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453.