调整函式

令 {V_j }_j∈Z为多分辨率近似，并且Ø为具有傅立叶变换的调整函数

• ${\displaystyle {\hat {\phi }}(\omega )={\dfrac {{\hat {\theta }}(\omega )}{(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{1/2}}}}$ 

其中

• ${\displaystyle \phi _{j,n}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\phi ({\dfrac {t-n}{2^{j}}})}$ 

当j∈Z，V_j的正交基底为{Φ_j,n}_n∈Z

定理证明

为了建造一个标准正交基底，我们寻找一个函数Φ∈V₀。 因此，它可以在{θ(t-n)}_n∈Z的基础上扩展：

• ${\displaystyle \phi (t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a[n]\theta (t-n)}$ 

这意味着

• ${\displaystyle {\hat {\phi }}(\omega )={\hat {a}}(\omega ){\hat {\theta }}(\omega )}$ 

其中 ${\displaystyle {\hat {a}}}$ 是周期2W的有限能量的傅立叶级数。 为了计算 ${\displaystyle {\hat {a}}}$ 我们表示了

频域中{Φ(t-n)}_n∈Z的正交性。 设${\displaystyle {\bar {\phi }}(t)=\phi ^{*}(-t)}$ 。

对任意(n,p)∈Z²而言

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \phi (t-n),\phi (t-p)\right\rangle &=\int _{-\infty }^{+\infty }\phi (t-n)\phi ^{*}(t-p)\mathrm {d} t\\&=\phi \star {\bar {\phi }}(p-n)\end{aligned}}}$ 

因此，只有在${\displaystyle \phi \star {\bar {\phi }}(n)=\delta [n]}$ 时，{Φ(t-n)}_n∈Z是正交的。

计算此等式的傅里叶变换得到

• ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\phi }}(\omega +2k\pi )|^{2}=1}$ 

实际上，${\displaystyle \phi \star {\bar {\phi }}(n)}$ 的傅里叶变换是${\displaystyle |{\hat {\phi }}(\omega )|^{2}}$ ，取样函数可以对其傅立叶变换进行周期化。

如果我们选择下列式子，则上式将被证实

• ${\displaystyle {\hat {a}}(\omega )=(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{-1/2}}$ 

其中分母具有严格上下限，因此a是有限能量的2W周期函数。

近似值

通过缩放正交基础的扩展，获得f在V_j上的正交投影

• ${\displaystyle P_{V_{j}}f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle \phi _{j,n}}$ 

内积为

• ${\displaystyle a_{j}[n]=\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle }$ 

在尺度2^j处拥有离散近似。 我们可以将它们重写为卷积形式：

• ${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j}[n]&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\phi ({\frac {t-2^{j}n}{2^{j}}})\mathrm {d} t\\&=f\star {\bar {\phi }}_{j}(2^{j}n)\end{aligned}}}$  , with ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{j}(t)={\sqrt {2^{-j}}}\phi (2^{-j}t)}$ 

傅立叶转换 ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ 的能量通常集中在[-π，π]中。

因此，${\displaystyle {\bar {\phi }}_{j}(t)}$ 的傅立叶转换${\displaystyle {\sqrt {2^{j}}}{\hat {\phi }}^{*}(2^{j}\omega )}$ 主要是在[-2^-jπ，2^-jπ]中，不可忽略不计。

离散近似 a_j[n] 是以间隔 2^j 取样的 f 低通滤波。

1. S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd  edition, 2009.