哈尔小波本条目存在以下问题，请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。 此条目需要编修，以确保文法、用词、语气、格式、标点等使用恰当。 (2013年1月6日)请按照校对指引，帮助编辑这个条目。（帮助、讨论）此条目没有列出任何参考或来源。 (2013年1月6日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。此条目翻译品质不佳。 (2013年1月6日)翻译者可能不熟悉中文或原文语言，也可能使用了机器翻译。请协助翻译本条目或重新编写，并注意避免翻译腔的问题。明显拙劣的翻译请改挂{{d|G13}}提交删除。 哈尔小波转换是小波转换(Wavelet transform)中最简单的一种转换，也是最早提出的小波转换。 其对应的缩放方程式(scaling function)可表示为： ϕ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 其滤波器(filter)h[n]被定义为 h[n] = : { 1 2 if n = 0,1 0 otherwise {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\mbox{if n = 0,1}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} 当 n = 0 与 n = 1 时，有两个非零系数，因此，我们可以将它写成 1 2 ψ ( ( t 2 ) ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 1 − n h [ 1 − n ] ϕ ( t − n ) = 1 2 ( ϕ ( t − 1 ) − ϕ ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi (\left({\frac {t}{2}}\right))&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{1-n}h[1-n]\phi (t-n)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\phi (t-1)-\phi (t))\\\end{aligned}}} 哈尔小波的母小波(mother wavelet)可表示为： ψ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 / 2 , − 1 1 / 2 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 在所有正交性(orthonormal)小波转换中哈尔小波转换(Haar wavelet)是最简单的一种转换，但它并不适合用于较为平滑的函数,因为它只有一个消失矩(Vanishing Moment)。 目录 1 小波母函数 2 尺度函数 3 特性 4 快速算法 5 参考 小波母函数 ψ ( t ) = ϕ ( 2 t ) − ϕ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)} ψ ( 2 t ) {\displaystyle \psi (2t)} ψ ( 2 m t − n ) {\displaystyle \psi (2^{m}t-n)} 由图示可知： (1): ⇒ ∫ ψ ( t ) ψ ( 2 t ) d t = 0 {\displaystyle \Rightarrow \int \psi (t)\psi (2t)\,dt=0} ∫ ψ ( t ) ψ ( 4 t ) d t = 0 {\displaystyle \int \psi (t)\psi (4t)\,dt=0} ∫ ψ ( 2 m t ) ψ ( 2 m 1 t ) d t = 0 {\displaystyle \int \psi (2^{m}t)\psi (2^{m1}t)\,dt=0} (2): ⇒ ∫ ψ ( t ) ψ ( t − 1 ) d t = 0 {\displaystyle \Rightarrow \int \psi (t)\psi (t-1)\,dt=0} ∫ ψ ( t ) ψ ( 2 t − 1 ) d t = 0 {\displaystyle \int \psi (t)\psi (2t-1)\,dt=0} ∫ ψ ( t ) ψ ( 2 m − 1 ) d t = 0 {\displaystyle \int \psi (t)\psi (2^{m}-1)\,dt=0} 尺度函数 scaling function ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} ϕ ( 2 t ) , 2 ϕ ( 2 t ) = ϕ ( t ) + ψ ( t ) {\displaystyle \phi (2t),2\phi (2t)=\phi (t)+\psi (t)} ψ ( 2 m t − n ) {\displaystyle \psi (2^{m}t-n)} 特性 哈尔小波具有如下的特性： (1)任何 function 都可以由 ϕ ( t ) , ϕ ( 2 t ) , ϕ ( 4 t ) , … , ϕ ( 2 k t ) {\displaystyle \phi (t),\phi (2t),\phi (4t),\dots ,\phi (2^{k}t)} 以及它们的位移所组成。 (2)任何平均为 0 的function 都可以由 ψ ( t ) , ψ ( 2 t ) , ψ ( 4 t ) , … , ψ ( 2 k t ) {\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{k}t)} 所组成，也就是，任何 function 都可以由 常数, ψ ( t ) , ψ ( 2 t ) , ψ ( 4 t ) , … , ψ ( 2 k t ) {\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{k}t)} 所组成。 (3)正交性(Orthogonal) ∫ − ∞ ∞ 2 m ψ ( 2 m 1 t − n 1 ) ψ ( 2 m t − n ) d t = δ ( m , m 1 ) δ ( n , n 1 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m,m_{1})\delta (n,n_{1})} (4)不同宽度的(也就是不同 m) 的wavelet/scaling functions之间会有一个关系 ϕ ( t ) = ϕ ( 2 t ) + ϕ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)} ϕ ( t − n ) = ϕ ( 2 t − 2 n ) + ϕ ( 2 t − 2 n − 1 ) {\displaystyle \phi (t-n)=\phi (2t-2n)+\phi (2t-2n-1)} ϕ ( 2 m t − n ) = ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n ) + ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n − 1 ) {\displaystyle \phi (2^{m}t-n)=\phi (2^{m+1}t-2n)+\phi (2^{m+1}t-2n-1)} ψ ( t ) = ϕ ( 2 t ) − ϕ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)} ψ ( t − n ) = ϕ ( 2 t − n ) − ϕ ( 2 t − 2 n − 1 ) {\displaystyle \psi (t-n)=\phi (2t-n)-\phi (2t-2n-1)} ψ ( 2 m t − n ) = ϕ ( 2 m + 1 t − n ) − ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n − 1 ) {\displaystyle \psi (2^{m}t-n)=\phi (2^{m+1}t-n)-\phi (2^{m+1}t-2n-1)} (5)可以用 m+1的 系数来计算 m 的系数 若 χ w ( n , m ) = 2 m / 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ϕ ( 2 m t − n ) d t {\displaystyle \chi _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m}t-n)\,dt} χ w ( n , m ) = 2 m / 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n ) d t + = 2 m / 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n − 1 ) d t = 1 2 ( χ w ( 2 n , m + 1 ) + χ w ( 2 n + 1 , m + 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{w}(n,m)&=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n)\,dt+\\&=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n-1)\,dt\\&={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)+\chi _{w}(2n+1,m+1))\\\end{aligned}}} 若 X w ( n , m ) = 2 m / 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ψ ( 2 m t − n ) d t {\displaystyle \mathrm {X} _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{m}t-n)\,dt} X w ( n , m ) = 2 m / 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n ) d t − = 2 m / 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ϕ ( 2 m + 1 t − 2 n − 1 ) d t = X w ( n , m ) = 1 2 ( χ w ( 2 n , m + 1 ) − χ w ( 2 n + 1 , m + 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{w}(n,m)&=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n)\,dt-\\&=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n-1)\,dt\\&=\mathrm {X} _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)-\chi _{w}(2n+1,m+1))\\\end{aligned}}} 图示如下： 快速算法 为多重解析结构(multiresolution analysis ) 参考 Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013. Wavelets and subbands : fundamentals and applications/Agostino Abbate, Casimer M. DeCusatis, Pankaj K. Das.
![{\begin{aligned}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\psi (\left({\frac {t}{2}}\right))&=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}(-1)^{{1-n}}h[1-n]\phi (t-n)\\&={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(\phi (t-1)-\phi (t))\\\end{aligned}}](/media/math_img/48820/42bf4241e5fcfd77b66d7a0dbc3c809a1c2a06a3.svg)
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