广义逆阵

考虑以下的线性方程

${\displaystyle Ax=y}$ 

其中${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle n\times m}$ 的矩阵，而${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A)}$  ， ${\displaystyle A}$ 的列空间。 若矩阵${\displaystyle A}$ 为可逆矩阵，则${\displaystyle x=A^{-1}y}$ 即为方程式的解。而若矩阵${\displaystyle A}$ 为可逆矩阵

${\displaystyle AA^{-1}A=A}$ 

假设矩阵${\displaystyle A}$ 不可逆或是${\displaystyle n\neq m}$ ，需要一个适合的${\displaystyle m\times n}$ 矩阵${\displaystyle G}$ 使得下式成立

${\displaystyle AGy=y}$ 

因此${\displaystyle Gy}$ 为线性系统${\displaystyle Ax=y}$ 的解。 而同样的，${\displaystyle m\times n}$ 阶的矩阵${\displaystyle G}$ 也会使下式成立

${\displaystyle AGA=A}$ 

因此可以用以下的方式定义广义逆阵：假设一个${\displaystyle n\times m}$ 的矩阵${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle m\times n}$ 的矩阵${\displaystyle G}$ 若可以使下式成立，矩阵${\displaystyle G}$ 即为${\displaystyle A}$ 的广义逆阵

${\displaystyle AGA=A}$ 

以下是一种产生广义逆阵的方式^[3]：

1. 若${\displaystyle A=BC}$ 为其秩分解（英语：rank factorization），则${\displaystyle G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}}$ 为${\displaystyle A}$ 的广义逆阵，其中${\displaystyle C_{r}^{-}}$ 为${\displaystyle C}$ 的右逆矩阵，而${\displaystyle B_{l}^{-}}$ 为${\displaystyle B}$ 的左逆矩阵。
2. 若${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$ ，其中${\displaystyle P}$ 及${\displaystyle Q}$ 为可逆矩阵，则${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$ 是${\displaystyle A}$ 的广义逆阵，其中${\displaystyle U,V}$ 及${\displaystyle W}$ 均为任意矩阵。
3. 令${\displaystyle A}$ 为秩为${\displaystyle r}$ 的矩阵，在不失一般性的情形下，令${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}}$ ，其中${\displaystyle B_{r\times r}}$ 为${\displaystyle A}$ 的可逆子矩阵，则${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$ 为${\displaystyle A}$ 的广义逆阵。

彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵：针对${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ 及${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},}$ 

若${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ 满足条件(1.)，即为${\displaystyle A}$ 的广义逆阵，若满足条件(1.)和(2.)，则为${\displaystyle A}$ 的广义反身逆阵（generalized reflexive inverse），若四个条件都满足，则为${\displaystyle A}$ 的摩尔－彭若斯广义逆。

以下是一些其他种类的广义逆阵

• 单边逆矩阵（左逆矩阵或是右逆矩阵）若矩阵A的维度是${\displaystyle n\times m}$ 且为 满秩，若${\displaystyle n>m}$ 则用左逆矩阵，若${\displaystyle n<m}$ 则用右逆矩阵。
  • 左逆矩阵为${\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }}$ ，也就是${\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}}$ ，其中${\displaystyle I_{m}}$ 为${\displaystyle m\times m}$ 单位矩阵。
  • 右逆矩阵为${\displaystyle A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}}$ ，也就是${\displaystyle AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}}$ ，其中 ${\displaystyle I_{n}}$ 为${\displaystyle n\times n}$ 单位矩阵。
• 德拉任逆矩阵（英语：Drazin inverse）
• 博特-达芬逆矩阵（英语：Bott–Duffin inverse）
• 摩尔－彭若斯广义逆

任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解，若有解时列出其所有的解^[4]。若以下n × m的线性系统有解存在

${\displaystyle Ax=b}$ 

其中向量${\displaystyle x}$ 为未知数，向量b为常数，以下是所有的解

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w}$ 

其中参数w为任意矩阵，而${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ 为${\displaystyle A}$ 的任何一个广义逆阵。解存在的条件当且仅当${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$ 为其中一个解，也就是当且仅当${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$ 。

• Yoshihiko Nakamura. * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987. 
• Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, 155: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0. 
• S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8. 
• Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN 0-387-00293-6. （原始内容存档于2016-08-18）. 
• C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6. 

• 反元素
• 摩尔－彭若斯广义逆
• 弱逆（英语：Weak inverse）

• 15A09 数学学科分类标准中对于反矩阵及广义逆阵的分类 search^{[永久失效链接]}