巴拿赫极限

在数学分析中，巴拿赫极限（英语：Banach limit）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间 $\ell ^{\infty }$ 上，对每个 $\ell ^{\infty }$ 中的序列 $x=(x_{n})$ 、 $y=(y_{n})$ 和复数 $\alpha$ 满足：

$\phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)$ （线性）；
若对每个 $n\in \mathbb {N}$ 有 $x_{n}\geq 0$ ，则 $\phi (x)\geq 0$ （正定性）；
$\phi (x)=\phi (Sx)$ ，其中 $S$ 是移位算子，定义为 $(Sx)_{n}=x_{n+1}$ （移位不变性）；
若 $x$ 是收敛序列，则 $\phi (x)=\lim x$

的连续线性泛函 $\phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C}$ 。

因此， $\phi$ 是对连续线性泛函 $\lim x:c\mapsto \mathbb {C}$ 的延拓，其中 $c\subset \ell ^{\infty }$ 是 $\mathbb {C}$ 中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法）^[1]，也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）^[2]。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

几乎收敛

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。例如 $x=(1,0,1,0,\ldots )$ ，注意到 $x+S(x)=(1,1,1,\ldots )$ 是常序列，并且

2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1.

因此对每个巴拿赫极限而言，它以 $1/2$ 为极限。

我们将每个巴拿赫极限 $\phi$ 下有相同的 $\phi (x)$ 的有界序列 $x$ 称为几乎收敛的。

Ba 空间

在 $c\subset \ell ^{\infty }$ 中给定收敛序列 $x=(x_{n})$ ，如果考虑对偶 $\langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle$ ， $x$ 通常的极限并不由 $\ell ^{1}$ 的某个元素给出。实际上 $\ell ^{\infty }$ 是 $\ell ^{1}$ 的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来， $\ell ^{1}$ 虽然能诱导出 $\ell ^{\infty }$ 中的连续线性泛函，但并不是全部。每个 $\ell ^{\infty }$ 上的巴拿赫极限都是 $\ell ^{\infty }$ 的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在 $\ell ^{1}$ 中。 $\ell ^{\infty }$ 的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

外部链接

巴拿赫极限. PlanetMath.

参考

^ Conway, Theorem III.7.1
^ Balcar-Štěpánek, 8.34

Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr. Teorie množin 2. Praha: Academia. 2000. ISBN 802000470X （捷克语）.
Conway, John B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. New York: Springer. 1994. ISBN 0-387-97245-5.

[1] Conway, Theorem III.7.1

[2] Balcar-Štěpánek, 8.34

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