卡迈克尔函数

当n为1、2、4、奇质数的次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数，当n为2,4以外的2的次幂时为它的一半。 ${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\varphi (n)&n=1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,17,19,22,23,25,26,27,29\dots \\{\dfrac {1}{2}}\varphi (n)&n=8,16,32,64,128,256\dots \end{cases}}}$ 

欧拉函数有${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)}$ 

由算术基本定理，正整数n可写为质数的积${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}}}$ 

对于所有n，${\displaystyle \lambda (n)}$ 是它们最小公倍数：

${\displaystyle \lambda (n)=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})]}$ 

${\displaystyle \lambda (8)=2}$ 

${\displaystyle 7^{2}\equiv 1{\pmod {8}}}$ 

证明当a与n互质时，满足${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ 

由费马小定理得${\displaystyle a^{p-1}=1+hp}$ 

${\displaystyle a^{p^{k-1}(p-1)}=1+hp^{k}}$ 

${\displaystyle a^{p^{k}(p-1)}=(1+hp^{k})^{p}=1+h^{p}p^{k+1}+\dots =1+h_{0}p^{k+1}}$ 

由数学归纳法得${\displaystyle a^{p^{k-1}(p-1)}\equiv 1{\pmod {p^{k}}}}$ 成立，这是一般情况。

${\displaystyle a=1+2h}$ 

${\displaystyle a^{2}=1+4h(h+1)=1+8C_{h+1}^{2}}$ 

${\displaystyle a^{2^{k-2}}=1+2^{k}h}$ 

${\displaystyle a^{2^{k-1}}=(1+2^{k}h)^{2}=1+2^{k+1}(h+2^{k-1}h^{2})}$ 

由数学归纳法得当${\displaystyle k\geq 3}$ 时，${\displaystyle a^{2^{k-2}}\equiv 1{\pmod {2^{k}}}}$ 成立。 ^[1]

证明${\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n)}$ 为存在模n原根的充要条件。

而${\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n)}$ 当且仅当${\displaystyle n=1,2,4,p^{k},2p^{k}}$ （${\displaystyle p\neq 2}$ ）

必要性

${\displaystyle \varphi (n)\geq \lambda (n)}$ ，若${\displaystyle \varphi (n)>\lambda (n)}$ ，则不存在阶为${\displaystyle \varphi (n)}$ 的模n元素，即不存在原根。^[1]

阶为${\displaystyle \lambda (n)}${\displaystyle \lambda (n)}  的模n元素为λ原根。模n的λ原根的个数参见  A111725。

当${\displaystyle n=2^{k},k>2}$ 时，3、5为模n的λ原根，因而所有模8余3或5的数都是模n的λ原根。

${\displaystyle 3^{2^{k-3}}=(2^{2}-1)^{2^{k-3}}=1-2^{k-1}+2^{k}I}$ ^[1]

${\displaystyle 5^{2^{k-3}}=(1+2^{2})^{2^{k-3}}=1+2^{k-1}+2^{k}I}$ ^[1]

${\displaystyle (\prod p)^{k}|(x^{\lambda (\prod p)+1}-x)^{k}}$ 

余式：${\displaystyle x^{\lambda (\prod p)(k+n)+k}\equiv \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {n+i-1}{i-1}}{\binom {n+k}{k-i}}x^{\lambda (\prod p)(k-i)+k}{\pmod {(\prod p)^{k}}}}$  ^[2]

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