可忽略函数

可忽略函数这个概念是和数学分析的形式化模型相关的。^{[注 1]}第一个比较严格的定义是波尔查诺在1817年给出的。后来的柯西, 魏尔施特拉斯和海涅都用了基本相同的以下定义^{[注 2]}：

（连续函数） 一个实数函数${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle x=x_{0}}$ 处连续，当对于任意一个正实数${\displaystyle \epsilon >0}$ ，有一个正实数${\displaystyle \delta >0}$ ，使${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ 时，有${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon }$ 。

只要每步改变一项参数，此定义就可经数步转换成为可忽略函数的定义。首先，当${\displaystyle x_{0}=\infty ,f(x_{0})=0}$ 时，我们需要定义"足够大"（sufficiently large），并定义无穷小量：

（足够大） 实数${\displaystyle x}$ 足够大时一个数学命题为真，当且仅当存在一个实数${\displaystyle N_{c}>0}$ ，对所有的实数${\displaystyle x>N_{c}}$ 此数学命题为真。

（无穷小） 一个连续函数${\displaystyle \mu (x)}$ 无穷小，当对任意足够大的正实数${\displaystyle x}$ ，对任意正实数^{[注 3]} ${\displaystyle pnum={\frac {1}{\epsilon }}>0}$ ，有

${\displaystyle |\mu (x)|<\epsilon ={\frac {1}{pnum}}}$ 。

然后我们把正实数${\displaystyle \epsilon }$ 换成正实数多项式函数${\displaystyle \epsilon (x)}$ 。^{[注 4]}

（可忽略函数） 一个连续函数${\displaystyle \mu (x)}$ 可忽略，当对任意足够大的正实数${\displaystyle x}$ ，对任意正多项式${\displaystyle poly(x)={\frac {1}{\epsilon (x)}}>0}$ ，有

${\displaystyle |\mu (x)|<\epsilon (x)={\frac {1}{poly(x)}}}$ 。

在基于计算复杂性理论的现代密码学中，一个安全技术是数学上可证明安全（provably secure）的意思通常是，此安全技术的失败^{[注 5]}的概率是关于密钥长度${\displaystyle x=n}$ 的一个可忽略函数（参见公钥密码学）。因为密钥长度${\displaystyle n}$ 肯定是自然数，这就是为什么开篇的定义把定义域改为自然数域的原因。^{[注 6]}

• Goldreich, Oded. Foundations of Cryptography: Volume 1, Basic Tools. Cambridge University Press. 2001 [2007-03-02]. ISBN 0-521-79172-3. （原始内容存档于2020-08-11）. 
• Sipser, Michael. Section 10.6.3: One-way functions. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997: 374–376. ISBN 0-534-94728-X. 
• Papadimitriou, Christos. Section 12.1: One-way functions. Computational Complexity 1st. Addison Wesley. 1993: 279–298. ISBN 0-201-53082-1. 
• Colombeau, Jean François. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. Mathematics Studies 84, North Holland. 1984. ISBN 0-444-86830-5. 
• Bellare, Mihir. A Note on Negligible Functions. Dept. of Computer Science & Engineering University of California at San Diego. 1997. CiteSeerX 10.1.1.43.7900  .