延伸原理

延伸原理非标准分析中的基本原理之一。

延伸原理

  1. 实数集超实数集的一个子集实数中的序关系x<y是超实数中序关系的一个子集。
  2. 存在一个超实数大于而小于一切正实数
  3. 对于每一个实函数f,可以给出一个与之对应的、变量数量相等的超实数函数f*,f*叫做f的自然延伸

解释

第一条:实数是超实数的一部分。

第二条:至少有一个正无穷小(实际上有无穷多个正无穷小)。无穷小(非零)不是实数而是一个超实数。第二条保证了不是实数的超实数的存在。

第三条:允许实函数在超实数中的应用。例如多元函数“+”(加法)可以自然地推广到超实数变为超实数中的加法“+*”, 我们便可以定义加法的自然延伸为超实数的。同理,减法乘法除法都可以这样定义。但为了简便起见,通常在不引起误会的情况下略去上标(“*”)。


其他的函数例如指数函数对数函数三角函数都可以通过自然延伸推广到超实数中。

参考资料

  1. H. Jerome Keisler: Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals. 1976第一版,1986年第二版。已绝版。出版商己把著作权还于作者。作者提供了第二版的pdf 格式: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html页面存档备份,存于互联网档案馆