根轴

几何形状及其位置的确定

令向量${\displaystyle {\vec {x}}}$ 、${\displaystyle {\vec {m}}_{1}}$ 、${\displaystyle {\vec {m}}_{2}}$ 分别为根轴上的点 ${\displaystyle P}$ 、两圆圆心${\displaystyle M_{1}}$ 、${\displaystyle M_{2}}$ 的位置。则根轴的“曲线”方程为：

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},}$ 

即

${\displaystyle 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.}$ 

从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因${\displaystyle {\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}$ 内积大小仅由${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$ 方向的分量决定，所以根轴是一条垂直于连心线的直线。

根轴在连心线上的垂足${\displaystyle L}$ 与圆心${\displaystyle M_{1}}$ 、${\displaystyle M_{2}}$ 的距离${\displaystyle d_{1}}$ 、${\displaystyle d_{2}}$ 分别满足
${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$ ,
其中 ${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|}$ .

如果两圆相交，则根轴为它们交点的连线；如果两圆相切，则根轴为它们的切线^[1]:27。

定义

三个圆能画出三条根轴，这三条根轴交于一点，称为三个圆的根心，若三个圆的圆心共线，则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点^[1]:27。

存在性的证明

考虑三圆${\displaystyle Q_{1}}$ 、${\displaystyle Q_{2}}$ 、${\displaystyle Q_{3}}$ 两两构成的三条根轴。令${\displaystyle P}$ 为${\displaystyle Q_{1}}$ 、${\displaystyle Q_{2}}$ 根轴以及${\displaystyle Q_{1}}$ 、${\displaystyle Q_{3}}$ 根轴的交点。有

${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)}$ ，${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)}$ ，

其中${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)}$ 表示点${\displaystyle P}$ 关于圆${\displaystyle Q_{i}}$ 的幂。

则知点${\displaystyle P}$ 关于${\displaystyle Q_{2}}$ 和${\displaystyle Q_{3}}$ 的圆幂都相等，因此它在第三条根轴上，换言之，三条根轴共点，存在根心。

• 埃里克·韦斯坦因. Radical Line. MathWorld.