莱布尼茨函数

考虑仿射空间${\displaystyle E}$ 和相伴的向量空间${\displaystyle V}$ 。设${\displaystyle (A_{i})_{i=1\cdots n}}$ 是${\displaystyle n}$ 点的族，${\displaystyle (a_{i})_{i=1\cdots n}}$ 是${\displaystyle n}$ 数量的族。与系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$ 相伴的莱布尼茨向量函数是从${\displaystyle E}$ 到${\displaystyle V}$ 的映射，把点${\displaystyle M}$ 对应到向量${\displaystyle {\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}}$ 。

设系数和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$ 为零，那么函数是常值。如果有一个系数非零（例如${\displaystyle a_{1}}$ ），这常值等于${\displaystyle a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}}$ ，其中${\displaystyle G_{1}}$ 是系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}}$ 的重心。

设系数和非零，函数可化简成

${\displaystyle {\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}}$ 

这个性质使得多个向量的线性组合可以借由重心化简成一个向量。如果向量空间是有限维，由此可以给出重心的座标。

其实${\displaystyle {\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}}$ 。

把上式转为座标就是

${\displaystyle x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}}$ 

考虑欧几里得仿射空间${\displaystyle E}$ 和相伴的域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 。设${\displaystyle (A_{i})_{i=1\cdots n}}$ 是${\displaystyle n}$ 点的族，${\displaystyle (a_{i})_{i=1\cdots n}}$ 是${\displaystyle n}$ 数量的族。与系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$ 相伴的莱布尼茨标量函数，是从${\displaystyle E}$ 到${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的映射，把点M对应到数量${\displaystyle f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}}$ 。

设系数和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$ 为零，那么函数可化简成

${\displaystyle f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}}$ 

其中${\displaystyle {\vec {u}}}$ 等于与这系统相伴的莱布尼茨向量函数的常值，${\displaystyle O}$ 是任意固定点。

设系数和非零，那么函数可化简成

${\displaystyle f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}}$ 

其中${\displaystyle G}$ 是系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$ 的重心。

这个化简令点的位置问题可以很容易解决（见莱布尼茨定理）。

例：在2维情形，集${\displaystyle M}$ 适合${\displaystyle f(M)=k}$ 的是

• 当系数和为零
  • 与${\displaystyle {\vec {u}}}$ 垂直的直线，如果${\displaystyle {\vec {u}}}$ 非零
  • 整个平面或空集（取决于${\displaystyle k}$ 的值），如果${\displaystyle {\vec {u}}}$ 为零
• 当系数和非零
  • 圆心为${\displaystyle G}$ 的圆，点${\displaystyle G}$ 或空集（取决于${\displaystyle k}$ 的值）

• 莱布尼茨定理
• 重心 (仿射几何)