蒙日圆

法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是。这一结论被称为蒙日圆。

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证明

 分别为椭圆的左右焦点,焦距为 。设点 分别为点 关于  关于 的对称点。由椭圆的光学性质[a]      分别三点共线,由椭圆定义有 。设 交直线 于点  交直线 于点 ,分别延长  交于点 ,则  。在矩形 中,由平面几何知识易知 ,于是 

在双曲线中的结论

与双曲线 相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是 

在抛物线中的结论

与抛物线 相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是 (可以看成是半径无穷大的圆)。

注释

  1. ^ 经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。