蒙日圆

设${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ 分别为椭圆的左右焦点，焦距为${\displaystyle c}$ 。设点${\displaystyle M,N}$ 分别为点${\displaystyle F_{1}}$ 关于${\displaystyle PA}$ ，${\displaystyle F_{2}}$ 关于${\displaystyle PB}$ 的对称点。由椭圆的光学性质^[a]知${\displaystyle F_{2}}$ ，${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle M}$ 及${\displaystyle F_{1}}$ ，${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle N}$ 分别三点共线，由椭圆定义有${\displaystyle MF_{2}=NF_{1}=2a}$ 。设${\displaystyle F_{1}M}$ 交直线${\displaystyle PA}$ 于点${\displaystyle Q}$ ，${\displaystyle F_{2}N}$ 交直线${\displaystyle PB}$ 于点${\displaystyle S}$ ，分别延长${\displaystyle MF_{1}}$ ，${\displaystyle NF_{2}}$ 交于点${\displaystyle R}$ ，则${\displaystyle OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a}$ ，${\displaystyle OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c}$ 。在矩形${\displaystyle PQRS}$ 中，由平面几何知识易知${\displaystyle OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}}$ ，于是${\displaystyle OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}}$ 。

与双曲线${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)}$ 相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$ 。

与抛物线${\displaystyle y^{2}=2px(p>0)}$ 相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}$ (可以看成是半径无穷大的圆)。