密克定理

三圆定理：设三个圆${\displaystyle C_1}${\displaystyle C_{1}}  , ${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ 交于一点${\displaystyle O}$ ，而${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle P}$ 分别是${\displaystyle C_{1}}$  和${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ 和${\displaystyle C_{3}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ 和${\displaystyle C_{1}}$ 的另一交点。设${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle C_{1}}$ 的点，直线${\displaystyle MA}$ 交${\displaystyle C_{2}}$ 于${\displaystyle B}$ ，直线${\displaystyle PA}$ 交${\displaystyle C_{3}}$ 于${\displaystyle C}$ 。那么${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle C}$ 这三点共线。

逆定理：如果${\displaystyle \triangle ABC}$ 是三角形，${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle P}$ 三点分别在边${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ 上，那么三角形${\displaystyle \triangle AMP}$ , ${\displaystyle \triangle BMN}$ , ${\displaystyle \triangle CNP}$ 的外接圆交于一点${\displaystyle O}$ 。

完全四线形定理：如果${\displaystyle ABCDEF}$ 是完全四线形，那么三角形${\displaystyle \triangle EAD}$ , ${\displaystyle \triangle EBC}$ , ${\displaystyle \triangle FAB}$ , ${\displaystyle \triangle FDC}$ 的外接圆交于一点 ${\displaystyle O}$ ，称为密克点。

四圆定理：设${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ ,${\displaystyle C_{3}}$ , ${\displaystyle C_{4}}$ 为四个圆，${\displaystyle A_{1}}$ 和${\displaystyle B_{1}}$ 是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$ 的交点，${\displaystyle A_{2}}$ 和${\displaystyle B_{2}}$ 是${\displaystyle C_{2}}$  和${\displaystyle C_{3}}$ 的交点，${\displaystyle A_{3}}$ 和${\displaystyle B_{3}}$ 是${\displaystyle C_{3}}$ 和${\displaystyle C_{4}}$ 的交点，${\displaystyle A_{4}}$ 和${\displaystyle B_{4}}$ 是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{4}}$ 的交点。那么${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle A_{2}}$ , ${\displaystyle A_{3}}$ , ${\displaystyle A_{4}}$ 四点共圆当且仅当${\displaystyle B_{1}}$ , ${\displaystyle B_{2}}$ , ${\displaystyle B_{3}}$ , ${\displaystyle B_{4}}$ 四点共圆。

五圆定理：设${\displaystyle ABCDE}${\displaystyle ABCDE}  为任意五边形，五点${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle I}$ , ${\displaystyle J}$ 分别是${\displaystyle EA}$ 和${\displaystyle BC}$  , ${\displaystyle AB}$ 和${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle BC}$ 和${\displaystyle DE}$ , ${\displaystyle CD}$ 和${\displaystyle EA}$ , ${\displaystyle DE}$ 和${\displaystyle AB}$ 的交点，那么三角形${\displaystyle \triangle ABF}$ , ${\displaystyle \triangle BCG}$ , ${\displaystyle \triangle CDH}$ , ${\displaystyle \triangle DEI}$ , ${\displaystyle \triangle EAJ}$ 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。^[1]

逆定理：设${\displaystyle C_{1},}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ , ${\displaystyle C_{4}}$ , ${\displaystyle C_{5}}$ 五个圆的圆心都在圆${\displaystyle C}$ 上，相邻的圆交于${\displaystyle C}$ 上，那么把它们不在${\displaystyle C}$ 上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。

1838年奥古斯特·密克在约瑟夫·刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。

密克的第一条定理，是很久前已有的著名经典结果，以圆周角定理证明。

完全四线形四圆的交点现在称为密克点，但这性质雅各布·施泰纳在1828年已经知道，威廉·华莱士也很可能已经知道。

五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由威廉·金顿·克利福德提出及证明。

2000年12月20日，中共中央总书记江泽民出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题^[2]，令问题重新引起广泛兴趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

阿兰·孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。

• 埃里克·韦斯坦因. Miquel's theorem. MathWorld. 
• Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches