羊角螺线

羊角螺线（clothoid），又称欧拉螺线（Euler spiral），是形式为

双头欧拉螺线

${\displaystyle x=C(t)}$

${\displaystyle y=S(t)}$

的曲线，其中${\displaystyle C(t)}$、${\displaystyle S(t)}$为 Fresnel积分：

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.}$

上面参数方程的参数${\displaystyle t}$，也是螺线于该点的曲率：${\displaystyle \kappa (t)=2t}$。

两个螺线的中心位于${\displaystyle \pm ({\frac {\sqrt {2\pi }}{4}},{\frac {\sqrt {2\pi }}{4}})}$

由于此螺线的曲率与长度成正比，故常用于公路工程或铁路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率变化（向心力变化）。

在光学上，近场衍射（Fresnel衍射）中会应用Fresnel积分。