阿波罗尼奥斯圆

阿波罗尼奥斯圆是线段定义的，标记此线段为 ${\displaystyle {\overline {CD}}\,\!}$  。

第一族（蓝色圆）

第一族中的每一个都由一个正实数 r 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 X 的轨迹：

${\displaystyle \left\{X\mid {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.}$ 

即 X 到 C 的距离与 X 到 D 的距离之比值为 r.

当 r 很接近零时，相应的圆会靠近 C 的一侧，而对接近 ∞ 的 r, 相应的圆则靠近 D 的一侧。至于当r = 1 时，该圆会退化为线段 CD 之中垂线。

第二族（红色圆）

第二族中的每个圆都由角 θ 确定， 这些圆定义为满足下列条件的点 X 的轨迹：

${\displaystyle \left\{X\mid \;\measuredangle CXD\;=\theta \right\}.}$ 

其中${\displaystyle \measuredangle CXD}$  表示 CXD 的有向角。

当 θ 取遍 0 到 π 之所有值时，上式生成所有经过 C 和 D 的圆。

不一样圆圈的固定比例 ${\displaystyle k\,\!}$  必不一样。圆与圆之间互不同心，互不相交。

每一个蓝圆与每一个红圆以直角相交，可以简易地解释如下：关于一个圆心为点 C 的圆 Q ，一族的蓝阿波罗尼奥斯圆的反演像，形成了一组同心圆，其圆心在点 D' 。点 D 关于圆 Q 的反演是点 D' 。同样的变换把一族的红圆反演为一组从点 D' 放射出来的直线。这样，反演将双极坐标变换为极坐标。在极坐标里，每一条径向线与 圆心为原点的圆圈 以直角相交。由于反演是一个共形变换，所以，每一个蓝圆圈与每一个红圆圈以直角相交。

• 反演

• C. Stanley Ogilvy (1990), Excursions in Geometry, Dover. ISBN 0-486-26530-7。