布丰投针问题

布丰投针问题Buffon's needle problem,又译“蒲丰投针问题”)是布丰于18世纪提出的一个数学问题:[1]

Buffon needle.gif

设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板(如右图),现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的,求针和其中一条木纹相交的概率。

使用积分几何能找到此题的解。用该方法可设计一个求π蒙特卡洛方法,不过这并非布丰的本意。[2]

解法

设针的长度是 ,平行线之间的距离为  为针的中心和最近的平行线的距离, 为针和线之间的锐角

 均匀分布,其概率密度函数 

 且均匀分布,其概率密度函数为 

 两个随机变量互相独立,因此两者结合的概率密度函数只是两者的

 

 ,针和线相交,然后对 积分得出所求概率。

要求上式的积分需要分为两种情况:“短针” 以及“长针” ;以下考虑“短针”情况,计算上式积分得针与线相交的概率:

 

作简单变换可得 ,

当抛 支针,其中有 支针与线相交,利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近概率的理论值 

近似可得 

拉扎里尼的估计

1901年,意大利数学家马里奥·拉扎里尼(Mario Lazzarini)尝试进行此实验。他抛了3408次针,得到π的近似值为355/113。

拉扎里尼选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况,针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交,π约等于 。分母、分子少于五位数字,没有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式 ,得 

为求x的值接近这个数,可以重复抛213次针,若有113次是成功的,便可终止实验,宣布这个方法求π值准确度不低;否则,就再抛213次针,希望共有226次成功……这次反复进行实验。拉扎里尼做了 次。

参见

参考文献

  1. ^ Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences (1733), 43–45; Histoire naturelle, générale et particulière Supplément 4 (1777), p. 46.
  2. ^ Behrends, Ehrhard. Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht? (PDF). [14 March 2015]. (原始内容存档 (PDF)于2014-08-02). 

外部链接