沃利斯乘积

沃利斯乘积,又称沃利斯公式,由数学家约翰·沃利斯在1655年时发现。

当时证明

今日多数的微积分教科书透过比较 n是奇数或是偶数,甚至是接近无穷大的情况下,发现即使将n增加一就会发生不一样的情形。在那时,微积分尚未存在,而且有关数学收敛的分析工具也还未俱全,所以完成这证明较现今有相当的难度。从现在来看,从欧拉公式中的正弦展开式得到此乘积是必然的结果。

 

x = π/2时

 
 

严谨证明

先考虑不定积分 

 

 

 

 

 

 

 

 

对整数m

 

 

 

 

 

 

另一方面

 

 

 

 

 

 

两式相除得

 

 

又因为

 


夹挤定理

 

 

寻找 ζ(2)

我们可将上述的正弦乘积式化为泰勒级数