Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法(英语:Floyd-Warshall algorithm),中文亦称弗洛伊德算法佛洛依德算法[1],是解决任意两点间的最短路径的一种算法[2],可以正确处理有向图或负权(但不可存在负权回路)的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包[3]

Floyd-Warshall算法
概况
类别全局最短路径问题(适用于带权图)
数据结构
复杂度
平均时间复杂度
最坏时间复杂度
最优时间复杂度
空间复杂度
相关变量的定义
点集

Floyd-Warshall算法的时间复杂度[4]空间复杂度,其中是点集。

原理

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划[5]

 为从  的只以 集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

  1. 若最短路径经过点k,则 
  2. 若最短路径不经过点k,则 

因此, 

在实际算法中,为了节约空间,可以直接在原来空间上进行迭代,这样空间可降至二维。

算法描述

Floyd-Warshall算法的伪代码描述如下:

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

其中dist[i][j]表示由点 到点 的代价,当其为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。

使用动态规划的算法

实现

Floyd算法在不同的编程语言中均有大量的实现方法:

参考来源

  1. ^ 杨军庆、安容瑾、任志国、张潇赟、蔡晓龙. 基于佛洛依德算法的各院校间最短路径问题的求解. 《甘肃科技纵横》. 2010年, (5): 28-29 [2020-08-09]. (原始内容存档于2011-02-24). 
  2. ^ Stefan Hougardy. The Floyd–Warshall algorithm on graphs with negative cycles. Information Processing Letters. 2010年4月, 110 (8-9): 279–281 [2015-04-11]. doi:10.1016/j.ipl.2010.02.001. (原始内容存档于2015-09-24) (英语). 
  3. ^ Skiena, Steven. The Algorithm Design Manual (PDF) 2. Springer. 2008-07-26: 212 [2015-04-11]. ISBN 978-0073523408. doi:10.1007/978-1-84800-070-4. (原始内容 (PDF)存档于2015-06-09) (英语). 
  4. ^ Introduction to Algorithms [算法导论]. 机械工业出版社. 2006: 386 [2001]. ISBN 9787111187776 (中文(中国大陆)). 
  5. ^ Dasgupta, Sanjoy; Papadimitriou, Christos; Vazirani, Umesh. Algorithms (PDF) 1. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 2006-09-13: 176 [2015-04-11]. ISBN 978-0073523408. (原始内容 (PDF)存档于2015-02-13) (英语). 

参见

  • 图论最短路
  • Dijkstra算法
  • Bellman-Ford算法