偶然对消

偶然对消异常对消(Anomalous cancellation)是指算术上不正确的处理,但其结果恰好是正确的。例如在化简分数时直接将分子分母各位数中相同的数字删除,这不是正确的约分方法,大部分情形下得到的答案是错的,但偶尔这样的运算会出现正确的结果[1]

以下是一些偶然对消的例子,十进制下分子及分母都是二位数,分子及分母不相等,且皆非11的倍数,可以偶然对消的分数只有以下这些以及其倒数:




[2]

博厄斯(Ralph P. Boas, Jr)分析了其他进制下的偶然对消,例如4进制下,分子及分母不相等的二位数分数,偶然对消的例子只有32/13 = 2/1及其倒数[2]

二位以上的分数也会有偶然对消,例如165/462 = 15/42。

基本性质

若采用以素数 进位的数位表示法(也即p-进制数),则这种对消没有分子分母在两位数及以下的解。证明如下:反证假设存在这样的对消,不失一般性的,设这样的对消满足以下等式:

 

其中用双竖线表示两个数在数位上的拼接。这可以推出

 

注意到  都应该是 -进制下的一位整数,故必然有 。而由 无法为0(否则对消后将原先非零的数变成了0),故唯一解满足 ,同时这也将导出 。该情况下化简成立,但并非化到最简的情形。

参考资料

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Anomalous Cancellation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113–129, 1979.