分配上半格

对于并半格${\displaystyle (S,\vee )}$ （任两元具有上确界${\displaystyle a\vee b}$ 的偏序集），以下条件等价，满足此条件的并半格称为分配并半格。

• 对于任意${\displaystyle a,b,c\in S}$ ，如果${\displaystyle c\leq a\wedge b}$ ，那么存在${\displaystyle a'\leq a}$ 和${\displaystyle b'\leq b}$ 使得${\displaystyle c=a'\wedge b'}$ 。
• ${\displaystyle S}$ 的序理想构成的并半格${\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)}$ 是分配格。^{[2]:167, Lemma 184(iii)}

对偶地可以定义分配交半格。

在分配并半格中，任意两个元素都有下界。^{[2]:167, Lemma 184(ii)}

与分配格不同，分配并半格的类不关于子代数封闭，从而不构成簇。其实，任何由并半格构成的簇都不能推广分配格到并半格，也就是不能使其对于格的情形与分配格一致。^[1]

对于格${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ ，以下条件等价。

• 并半格${\displaystyle (L,\vee )}$ 是分配并半格。
• 格${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ 是分配格。