后继序数

定义序数时，后继函数${\displaystyle S}$是取得下一个序数的数学工具。如果使用冯·诺伊曼序数（用于集合论的标准序数）表示，对于任何一个序数我们可以得到：

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$

因为在序数上的排序${\displaystyle \alpha >\beta }$当且仅当${\displaystyle \alpha \in \beta }$，立即得出没有序数在${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle S(\alpha )}$之间，而${\displaystyle \alpha <S(\alpha )}$也是明显的。是某个序数${\displaystyle \beta }$的${\displaystyle S(\beta )}$的序数叫做后继序数。不是其它哪个序数的后继的序数，我们把它们叫做极限序数。严格地按照超限归纳法，我们可以用这样的运算定义序数如下：

${\displaystyle \alpha +0=\alpha }$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

对于极限序数${\displaystyle \lambda }$：

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

在特殊情况下，${\displaystyle S(\alpha )=\alpha +1}$，乘和幂的定义也是一样的，请参见极限序数。