逆序对

• 逆序向量${\displaystyle v}${\displaystyle v}  ：依据元素的定义，${\displaystyle v(i)}$ 是较小（右）分量为${\displaystyle i}$ 的逆序数。${\displaystyle v(i)}$ 是在${\displaystyle \pi }$ 之中的${\displaystyle i}$ 之前，元素较${\displaystyle i}$ 大的数量。

  ${\displaystyle v(i)~~=~~\#\{k\mid k>i~\land ~\pi ^{-1}(k)<\pi ^{-1}(i)\}}$ 

• 左逆序计数${\displaystyle l}$ ：依据位置的定义，${\displaystyle l(i)}$ 是较大（右）分量为${\displaystyle l(i)}$ 的逆序数。${\displaystyle l(i)}$ 是在${\displaystyle \pi (i)}$ 之中的${\displaystyle \pi (i)}$ 之前，元素较${\displaystyle \pi (i)}$ 大的数量。

  ${\displaystyle l(i)~~=~~\#\left\{k\mid k<i~\land ~\pi (k)>\pi (i)\right\}}$ 

• 右逆序计数${\displaystyle r}$ ，通常称为Lehmer码：依据位置的定义，${\displaystyle r(i)}$ 是较小（左）分量为i的逆序数。${\displaystyle r(i)}$ 是${\displaystyle \pi (i)}$ 之中的${\displaystyle \pi (i)}$ 之后，元素较${\displaystyle \pi (i)}$ 小的数量。

  ${\displaystyle r(i)~~=~~\#\{k\mid k>i~\land ~\pi (k)<\pi (i)\}}$ 

Rothe图可以协助找出${\displaystyle v}$ 和${\displaystyle r}$ 。Rothe图是以黑点来表示1的排列矩阵，每一个位置上若为逆序（通常以叉号表示）则在其右侧与下方即有一点。${\displaystyle r(i)}$ 是图中第${\displaystyle i}$ 列排列逆序的加总，而${\displaystyle v(i)}$ 是${\displaystyle i}$ 栏中排列逆序的加总。排列矩阵的倒反即是此矩阵的转置，因此某一排列的${\displaystyle v}$ 即是它转置的${\displaystyle r}$ ，反之亦然。

下面可排序表显示了四个元素的集合，它的逆序集会有不同位置的24种排列、逆序相关向量和逆序数（右栏是它的反向排列，用于以colex排序）。可以看出${\displaystyle v}$ 和${\displaystyle l}$ 的位数总是相同，而${\displaystyle l}$ 和${\displaystyle r}$ 与位逆序集有关。 最右侧栏是排列左上右下对角线的总和，如三角形图示，以及r是左下右上对角线的总和（配对在下降对角线中其右侧都是2,3,4组成，而在上升对角线中的左侧都是1,2,3组成）。 此表中${\displaystyle \pi }$ 的预设排序是反向colex次序，这与${\displaystyle l}$ 的colex次序相同。${\displaystyle \pi }$ 的字典序与${\displaystyle r}$ 的字典序相同。