对偶范数

证明：

给定一个由E′中元素构成的柯西序列：${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ，其中每一个${\displaystyle f_{n}}$ 都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知，

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\;\;\exists N\in \mathbb {N} ,}$  使得${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}$ 

所以对E中任何元素x，都有：

${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.}$ 

这说明${\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数${\displaystyle f:\;\;E\rightarrow \mathbb {F} }$ 如下：

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$ 

这样定义的函数f 是连续线性泛函，属于E′。事实上：

1. f 是线性映射：

   ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,}$ 

   ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}$ 

2. f 是连续映射：

   将${\displaystyle \epsilon }$ 定为1，则存在${\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} }$ ，使得${\displaystyle \forall n>N_{1}}$ ，都有${\displaystyle \|f_{n}-f_{N_{1}}\|'<1}$ ，这说明：

   ${\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;\|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}$  因此，${\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;x\in E,\;\;\|x\|<1,}$  都有${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}$ 

   当${\displaystyle n}$ 趋向无穷大时，就有：${\displaystyle |f(x)|\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1}$ 。这说明f 是连续映射。

最后证明f 是序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 在对偶范数下的极限：

给定${\displaystyle \epsilon >0}$ ，总能找到${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得：

${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon ,}$  所以，${\displaystyle \forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,}$ 

${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}$ 

当${\displaystyle m}$ 趋向无穷大时，就有：${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .}$ 

因此，${\displaystyle \forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .}$ 

这说明序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。