艾伦伯格－斯廷罗德公理

艾伦伯格－斯廷罗德公理用于从拓扑空间偶(X, A)范畴到阿贝尔群范畴的函子列${\displaystyle H_{n}}$ ，连同称为边界映射的自然变换${\displaystyle \partial :H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$ 。（在此H_i − 1(A)是H_i − 1(A,∅)的简记。）这套公理是：

1. 恒同映射${\displaystyle \mathrm {id} :(X,A)\to (X,A)}$ 在同调群中诱导的同态${\displaystyle H_{n}(\mathrm {id} ):H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,A)}$ 是恒同同态。
2. 设有空间偶的映射${\displaystyle f:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$ ，${\displaystyle g:(Y,B)\rightarrow (Z,C)}$ ，那么${\displaystyle H_{n}(g)\circ H_{n}(f)=H_{n}(g\circ f).}$ 
3. 设有空间偶的映射${\displaystyle f:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$ ，那么${\displaystyle \partial \circ H_{n}(f)=H_{n-1}(f|_{A})\circ \partial .}$ 
4. 同伦：同伦的映射在同调群中诱导相同的同态。换言之，如果${\displaystyle g:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$ 同伦于${\displaystyle h:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$ ，那么其诱导同态相同：

   ${\displaystyle H_{n}(g)=H_{n}(h):H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)}$  对所有n ≥ 0。

5. 切除：设(X, A)是空间偶，U是X的子集，使得U的闭包包含在A的内部之中。那么包含映射${\displaystyle i:(X-U,A-U)\to (X,A)}$ 在同调群中诱导的是同构。
6. 维数：设P是单点空间，那么${\displaystyle H_{n}(P)=0}$  对所有n ≠ 0。
7. 正合：任何空间偶(X, A)经由包含映射${\displaystyle i:A\to X}$ 和${\displaystyle j:X\to (X,A)}$ ，都在同调群中诱导出长正合序列：

   ${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .}$ 

约翰·米尔诺增加了一条公理：

可加性：设${\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}}$ 是拓扑空间族${\displaystyle X_{\alpha }}$ 的不交并，那么${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}$ 

设P是单点空间，那么${\displaystyle H_{0}(P)}$ 称为系数群。

同调群的一些结果可以用公理推导出，例如同伦等价空间的同调群是同构的。

一些较为简单的空间的同调群可以直接从公理算出，比如n-球面。因此可以推导出(n-1)-球面不是n-球的收缩。用这个结果可以给出布劳威尔不动点定理的一个证明。

如果一个同调论符合差不多所有艾伦伯格－斯廷罗德公理，但维数公理除外，便称为广义同调论（英语：extraordinary homology theory）（对偶概念为广义上同调论）。一些重要例子在1950年代发现，例如拓扑K-理论和配边理论（英语：cobordism theory），都是广义上同调论，并有与之对偶的同调论。

• Zig-zag lemma（英语：Zig-zag lemma）

• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
• Glen Bredon（英语：Glen Bredon）: Topology and Geometry, 1993,   引文格式1维护：冗余文本 (link)