图示 (范畴论)

在范畴论中，图示是集合论中的索引族于范畴论中的类比。两者主要的不同在于，在范畴论中，态射也需要索引。集合的索引族是指由一个固定的集合索引的一组集合，亦可以说是由一个固定的索引“集合”映射至一组“集合”的“函数”。图示则是指由一固定范畴索引的一组物件及态射，亦可以说是由一固定索引“范畴”映射至某些“范畴”的“函子”。

图示及锥体是用来定义极限的核心概念。

定义

在一范畴 C中类型J的图示是指一个（协变）函子

D : J → C

范畴J被称之为图示D的索引范畴，此一函子有时亦被称为J型图示[1]。J实际的物件及态射为何并不重要，关键在于之间的互动。图示D可想做是以J索引C内的物件及态射。

技术上，“图示”及“函子”，以及“索引范畴”及“范畴”间并没有什么不同，用词上的改变仅反映了观点上的改变：将索引范畴固定，并允许函子（及目标范畴）变动。

通常，最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时，此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

在范畴C内，类型J之图示间的态射为函子间的自然变换。因此，可将C内类型J的图示范畴理解为一函子范畴CJ，而图示则为该范畴内的物件。

例子

  • 给定范畴C中的任一物件A，均能得到一个“常数图示”，该图示将J内的所有物件映射至A，且将J内的所有态射映射至A上的单位态射。通常使用下标来标示此类常数图示：亦即，对C内的任一物件 ，均会有一个常数图示 。
  • 若J是一个（小）离散范畴，则类型J的图示实际上就只是个C内物件（由J索引）的索引族。用此图示来建构极限，其结果为积；用来建构上极限，其结果为上积。因此，若J为一具有2个物件的离散范畴，其极限只会是个二元积。

参考资料

  1. ^ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, (1999) The University of Chicago Press, ISBN 0-471-60922-6. （原始内容存档 (PDF)于2015-04-21）.  Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
  2. Barr, Michael; Wells, Charles. Toposes, Triples and Theories (PDF). 2002 [2014-02-04]. ISBN 0-387-96115-1. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-25）.  Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

外部链接

  • Diagram Chasing （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld
  • WildCats （页面存档备份，存于互联网档案馆） is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, commutative diagrams, categories, functors, natural transformations.