图示 (范畴论)

范畴论中,图示集合论中的索引族于范畴论中的类比。两者主要的不同在于,在范畴论中,态射也需要索引。集合的索引族是指由一个固定的集合索引的一组集合,亦可以说是由一个固定的索引“集合”映射至一组“集合”的“函数”。图示则是指由一固定范畴索引的一组物件及态射,亦可以说是由一固定索引“范畴”映射至某些“范畴”的“函子”。

图示及锥体是用来定义极限的核心概念。

定义

在一范畴 C中类型J图示是指一个(协变)函子

D : JC

范畴J被称之为图示D索引范畴,此一函子有时亦被称为J型图示[1]J实际的物件及态射为何并不重要,关键在于之间的互动。图示D可想做是以J索引C内的物件及态射。

技术上,“图示”及“函子”,以及“索引范畴”及“范畴”间并没有什么不同,用词上的改变仅反映了观点上的改变:将索引范畴固定,并允许函子(及目标范畴)变动。

通常,最感兴趣的情况是当类型J小范畴有限范畴之时,此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

在范畴C内,类型J之图示间的态射为函子间的自然变换。因此,可将C内类型J图示范畴理解为一函子范畴CJ,而图示则为该范畴内的物件。

例子

  • 给定范畴C中的任一物件A,均能得到一个“常数图示”,该图示将J内的所有物件映射至A,且将J内的所有态射映射至A上的单位态射。通常使用下标来标示此类常数图示:亦即,对C内的任一物件 ,均会有一个常数图示 
  • J是一个(小)离散范畴,则类型J的图示实际上就只是个C内物件(由J索引)的索引族。用此图示来建构极限,其结果为;用来建构上极限,其结果为上积。因此,若J为一具有2个物件的离散范畴,其极限只会是个二元积。

参考资料

  1. ^ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, (1999) The University of Chicago Press, ISBN 0-471-60922-6. (原始内容存档 (PDF)于2015-04-21).  Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
  2. Barr, Michael; Wells, Charles. Toposes, Triples and Theories (PDF). 2002 [2014-02-04]. ISBN 0-387-96115-1. (原始内容存档 (PDF)于2020-11-25).  Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

外部链接

  • Diagram Chasing页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld
  • WildCats页面存档备份,存于互联网档案馆) is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, commutative diagrams, categories, functors, natural transformations.