二阶导数的对称性

f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵；但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述，在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于f的一个充分条件使其成立。

用符号表示，对称性说，例如

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}$ 。

这个等式也可写成

${\displaystyle \partial _{xy}f=\partial _{yx}f}$ 。

或者，此对称性可利用微分算子D_i写成一个代数论述，D_i是关于x_i取偏导数：

D_i . D_j = D_j . D_i.

由这个关系得知由D_i生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立，从而我们可取x_i的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

在数学分析中，克莱罗定理（Clairaut's theorem）或施瓦兹定理（Schwarz's theorem）^[1]，以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名，断言如果

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 

在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中任何一点 ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ 有连续二阶偏导数，则对${\displaystyle \forall i,j\in \mathbb {N} \backslash \{0\}:i,j\leq n,}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$ 

换句话说，这个函数在那一点的偏导数交换。确立这个定理的一个简单方法（当n = 2, i = 1，且j = 2，很容易推到一般）是运用格林定理求f的梯度。

克莱罗常数

这个定理的一个副产品是克莱罗常数（Clairaut's constant，亦称卡罗拉公式或克莱罗参数），涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角，或弧道路，${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A} }}\,\!}$ ：

${\displaystyle \sin({\widehat {\mathrm {A} }})={\Big |}\cos(\phi _{q})\sin({\widehat {\alpha }}_{q}){\Big |}.\,\!}$ 

也可利用分布理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数（假设可积）可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数，这是光滑的当然满足对称性。从而，在分布的意义下，对称性总满足。（另一个方法，若定义了函数的傅立叶变换，注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子）。

当函数不满足克莱洛定理的前提的时候，例如其导数不连续，则不存在对称性。

展示非对称的一个例子如下：

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ for }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}$ 

尽管这个函数处处连续，但它的代数导函数在原点没有定义。沿着x轴的其他地方y的导数为${\displaystyle \partial _{y}f|_{(x,0)}=x}$ ，所以

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f|_{(0,0)}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\partial _{y}f|_{(\epsilon ,0)}-\partial _{y}f|_{(0,0)}}{\epsilon }}=1}$ 。

反之亦然，沿着y轴的其他地方x的导数为${\displaystyle \partial _{x}f|_{(0,y)}=-y}$ ，所以${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f|_{(0,0)}=-1}$ 。那就是说，在(0,0)处${\displaystyle \partial _{xy}f\neq \partial _{yx}f}$ ，尽管f的混合导数存在，且在${\displaystyle (0,0)}$ 之外处处连续。注意到它与克莱罗定理并不矛盾，因为导数在(0,0)不连续。一般地，极限运算的交换未必交换，两个变量情形下，在(0, 0)附近考虑

${\displaystyle f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)}$ 

的两个极限过程，先令h → 0以及先令k → 0。这两个过程未必交换（参见极限运算的交换）：看最先作用的那个一阶项。可以构造出二阶导数的对称性不成立的病态例子。若导数作为施瓦兹分布是对称的，这类例子属于实分析中的精细理论，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为${\displaystyle 0}$ 。由于在这个例子中，黑塞矩阵在${\displaystyle (0,0)}$ 外所有点对称，Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实，不存在矛盾。

更高级的一个讨论是这样的：考虑一阶微分算子D_i为欧几里得空间中的无穷小算子。即D_i在某种意义下生成平行于x_i-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换，从而我们希望无穷小生成元也交换；李括号

[D_i, D_j] = 0

便是其反映的方式。或者说，一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。

1. ^ James, R.C.（1966）Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth.