Meijer G-函数

广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）：

${\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}$ 

其中积分路径 C 视参数 p, q 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。

Meijer-G 函数是上面积分表达式的一个推广，它的定义为：

${\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}z^{s}\left.\left(\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{k}+s)\right)\right/\left(\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}-s)\right/\left.\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}$ 

其中积分路径 C 视参数的相对大小而定^{[注 1]}。但是，为了保证至少一条积分路径有定义，要求

${\displaystyle a_{k}-b_{l}\notin \mathbb {Z} ^{+},\quad \forall k=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,m}$ 

在书写 Meijer-G 函数时要注意，上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 b_k，而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 a_k。

对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-G 函数的关系：

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})}}\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a_{1}&1-a_{2}&\ldots &1-a_{p}\\0&1-b_{1}&\ldots &1-b_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b_{1}&\ldots &b_{q}\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}$ 

和广义超几何函数一样，如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素，则 Meijer-G 函数可以降阶，此处不再赘述。

一般关系式

Meijer-G 函数的导函数具有下列性质：

${\displaystyle z^{h}{\frac {\mathrm {d} ^{h}}{\mathrm {d} z^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$ 

注意 h 可以取任意整数值，取负数时表示不定积分。

另一方面，

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$ 

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$ 

${\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-a_{1}+1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\geq 1.}$ 

${\displaystyle \left(a_{p}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\leq p-1.}$ 

${\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-b_{q}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\leq q-1.}$ 

${\displaystyle \left(b_{1}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\geq 1.}$ 

上面的式子都可以直接由定义得到。

向量组中两个元素相差整数时的关系式

由

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1-u+s)}{\Gamma (1-v+s)}}=(-1)^{u-v}{\frac {\Gamma (v-s)}{\Gamma (u-s)}},\quad u-v\in \mathbb {Z} }$ 

又有

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$ 

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$ 

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$ 

由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-G 函数满足下列微分方程，它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}z\prod _{k=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-a_{k}+1\right)-\prod _{k=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-b_{k}\right)\right]w=0,\quad w(z)=G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}$ .

这是一个 max(p,q) 阶的线性微分方程，在 z=0 附近的基本解组可以选取为

${\displaystyle {\begin{cases}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,&{\text{ if }}p\leqslant q\\G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p,&{\text{ if }}p\geqslant q\end{cases}}}$ 

当 p=q 时两种取法都可以。

从 m, n 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此，以第一种情况为例，

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)=z^{b_{h}}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-b_{h},\dots ,a_{p}-b_{h}\\0,b_{1}-b_{h},\dots ,b_{h-1}-b_{h},b_{h+1}-b_{h},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)}$ 

等号右边的 Meijer-G 函数显然就是广义超几何函数。

因为广义超几何函数是 Meijer-G 函数的特殊情形，故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-G 函数表示，但是，在个别情况下，用 Meijer-G 函数有更简单的表示式，例子如诺依曼函数，它可以用超几何函数₀F₁表示，但表示式仅仅是将（第一类）贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中，因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-G 函数就可以直接表示为：

${\displaystyle Y_{\nu }(z)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg z\leq {\frac {\pi }{2}}}$ 

另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数，它无法用广义超几何函数表出，但可以用 Meijer-G 函数表出：

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,z)}{\partial a}}=\Gamma (a,z)\ln z+\,G_{2,\,3}^{\,3,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\a,0,0\end{matrix}}\;\right|\,z\right)}$ 

事实上，不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-G 函数表出，详见不完全Γ函数一文。

如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数（双变量的广义超几何函数）的关系那样，Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况： ${\displaystyle G_{p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}^{m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2}}\left[{\begin{array}{lll}a_{1},\dots ,a_{p};c_{1,1},\dots ,c_{1,u_{1}};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_{2}};\\b_{1},\dots ,b_{q};d_{1,1},\dots ,d_{1,v_{1}};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_{2}};\end{array}}\ z,w\right]=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{\mathcal {L}}\int _{\mathcal {L'}}{\frac {\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}{\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{1}}\Gamma (d_{1,k}+\sigma )\prod _{k=1}^{t_{1}}\Gamma (1-c_{1,k}-\sigma )}{\prod _{k=t_{1}+1}^{u_{1}}\Gamma (c_{1,k}+\sigma )\prod _{k=s_{1}+1}^{v_{1}}\Gamma (1-d_{1,k}-\sigma )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{2}}\Gamma (d_{2,k}+\tau )\prod _{k=1}^{t_{2}}\Gamma (1-c_{2,k}-\tau )}{\prod _{k=t_{2}+1}^{u_{2}}\Gamma (c_{2,k}+\tau )\prod _{k=s_{2}+1}^{v_{2}}\Gamma (1-d_{2,k}-\tau )}}z^{-\sigma }w^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2},p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}\in \mathbb {N} ,m\leq q,n\leq p,s_{1}\leq v_{1},t_{1}\leq u_{1},s_{2}\leq v_{2},t_{2}\leq u_{2}}$ 

1. ^ 具体可参见DLMF上的图 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
• Beals, Richard; Szmigielski, Jacek. Meijer G-Functions: A Gentle Introduction, (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2013, 60 (7) [2014-09-06]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-26）. 
• Luke, Yudell L. The Special Functions and Their Approximations, Vol. I. New York: Academic Press. 1969. ISBN 0-12-459901-X.  (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
• The Wolfram Functions Site. [2014-09-06]. （原始内容存档于2007-10-10）. 

• 埃里克·韦斯坦因. Meijer G-函数. MathWorld.