合流超几何函数

根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=₁F₁(a;b;z) 满足的微分方程为：

${\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b-1\right)w}$ .

展开后就得到 Kummer 方程^[1]，

${\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0}$ ,

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

${\displaystyle M(a,b,z)=\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$ 

式中 (a)⁽ⁿ⁾ 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形^[1]：

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})}$ 

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$ 

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

${\displaystyle z^{1-b}\,_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$ 

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合^[2]：

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}$ 

它与另一个广义超几何函数有下列关系^[3]：

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}$ 

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 ₂F₀ 对应的超几何级数视为渐近级数。

${\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}$ 

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程

大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$ 

先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$ 

这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D²-4F)^-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$ 

它的解为，

${\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} }$ 

李代数参数与惠泰克方程

Kummer 方程的李代数参数^{[注 1][3]}定义为

${\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,}$ 

其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

${\displaystyle F_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\theta }(z)}$ 

惠泰克方程的形式为：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$ 

它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系^[1]：

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$ 

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$ 

注意到

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F_{2\mu ,-2\kappa }(z)}$ 

故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

${\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }$ 

式中的 Β 是beta函数。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示^[3]：

${\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{1}F_{1}(a;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0}$ 

第二类合流超几何函数的积分表示为^[3]：

${\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0}$ 

高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }$ 

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式^[2]：

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)}$ 

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为^[2]：

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$ .

很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

柱函数

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为^[1]：

${\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}$ 

${\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}$ 

Γ, 误差函数

不完全伽玛函数可以表示为^[1]：

${\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ 

${\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}$ 

误差函数可以表示为^[1]：

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})}$ 

正交多项式及相关函数

拉盖尔函数可以表示为^[1]：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}}$ 

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

（物理学上的）厄米多项式可以表示为^[1]：

${\displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} _{0}^{+},\Re (z)>0}$ 

1. ^ ^{1.0 1.1} 关于李代数参数，详见超几何函数

1. ^ ^{1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7} 吴崇试. 17. 数学物理方法（第二版）. 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199. 
2. ^ ^{2.0 2.1 2.2} Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
3. ^ ^{3.0 3.1 3.2 3.3} Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113  . 

• Chistova, E.A., c/c024700, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756. 
• Kummer, Ernst Eduard. De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1837, 17: 228–242 [2014-09-05]. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1837.17.228. （原始内容存档于2014-08-19） （拉丁语）. 
• Slater, Lucy Joan. Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026. 
• Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 （意大利语）. 
• Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 （意大利语）. 

• Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）