无限胞体
在几何学中，无限胞体或无限胞形是指有无限多个胞或维面的多胞体。其在数学上可以分成两大类：[1]
- n维空间的空间填充结构，即堆砌体或镶嵌在n维空间的类比。
- 位于更高维度的空间中的n维流形，即扭歪无限胞体。
另外一个相关议题为无限维多胞体，然而相关研究领域尚未成熟，因此学术上尚未有一个对无限维多胞体的普遍接受之定义。[2][3]
种类
无限胞体（英语：Apeirotope）意指有无限个面、无限个胞、无限条边和无限个顶点的多胞体。
其性质皆与无限面体相似，由空间密铺即空间堆砌组成。四维空间的正无限胞体只有一种，即立方体堆砌[4]。
| 维度 | 三维 退化四维 |
四维 退化五维 | |
|---|---|---|---|
| 图像 | 立方体堆砌 |
超立方体堆砌 |
十六胞体堆砌 |
| 施莱夫利符号 | {4,3,4} | {4,3,3,4} | {3,3,4,3} |
于双曲空间亦的对应的几何结构：
| 图像 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 六阶四面体堆砌 | 五阶立方体堆砌 | 四阶八面体堆砌 | 四阶十二面体堆砌 | 三阶二十面体堆砌 | |
| 施莱夫利符号 | {3,3,6} | {4,3,5} | {3,4,4} | {5,3,4} | {3,5,3} |
五维双曲空间也有三种正无限胞体：
| 名称 | 五阶正五胞体堆砌 | 五阶超立方体堆砌 | 四阶二十四胞体堆砌 | 三阶一百二十胞体堆砌 |
|---|---|---|---|---|
| 无限胞体的胞 | ||||
| 正五胞体 | 超立方体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | |
| 施莱夫利符号 | {3,3,3,5} | {4,3,3,5} | {3,4,3,4} | {5,3,3,3} |
空间填充结构
一般而言n维空间的空间填充结构可以视为n+1空间中的无限胞体。[5]
例如平面镶嵌图是二维空间的几何结构，其可以视为三维空间的无限面体；三维堆砌结构亦可以视为四维空间的无限胞体。
扭歪无限胞体
二维空间
三维空间
三维空间中的扭歪无限胞体即扭歪无限面体，目前已知有三种正图形属于此类：
| 三维空间中的正扭歪无限面体的局部 | ||
|---|---|---|
| 四角六片四角孔扭歪无限面体 {4,6|4} |
六角四片四角孔扭歪无限面体 {6,4|4} |
六角六片三角孔扭歪无限面体 {6,6|3} |
另外亦有30种正无限面体存于三维欧氏空间[6]。
参见
- 无限面体
- 无限边形
参考文献
- ^ Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra—Old and New", Aeqationes mathematicae, Vol. 16 (1977), pp 1–20.
- ^ Phelphs, R. R. Infinite Dimensional Compact Convex Polytopes. MATHEMATICA SCANDINAVICA. 1969, 24: 5–26. doi:10.7146/math.scand.a-10917.
- ^ Maserick, P. H. Convex polytopes in linear spaces.. Illinois J. Math. 1965, 9 (no. 4): 623––635. doi:10.1215/ijm/1256059305.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, Lagarias, J. C.; Moews, D., Polytopes that fill and scissors congruence, Discrete and Computational Geometry, 1995, 13 (3–4): 573–583, MR 1318797, doi:10.1007/BF02574064.
- ^ McMullen & Schulte (2002，Section 7E)
参考书目
- McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes , Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge: Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665, doi:10.1017/CBO9780511546686