爱因斯坦群

爱因斯坦群(英语:Einstein group),是由美国物理学家孟德尔·萨克斯在其完成阿尔伯特·爱因斯坦未竟的统一场论时所发现的变换群,此一变换群也是爱因斯坦晚年所探求的目标之一。

爱因斯坦的陈述

阿尔伯特·爱因斯坦在研究期待中的统一场论时,探求过此一变换群,他写道:

庞加莱群

狭义相对论的变换群——庞加莱群,具有正交的性质,其反元素为自身的转置,从而引入了离散反射的效果。庞加莱群违背了上述爱因斯坦的格言:“这变换群不能比四维座标的连续变换还狭义。”特别来说,任意一对欧拉角θk与−θk是相依的,而劳仑兹提速(Lorentz boost)vk/c与−vk/c也是相依的。可自由变动的参数因此约化减少,从描述弯曲时空中所有变换的广义相对性原理xμ/∂xν的16个参数减少至庞加莱群的10个。

爱因斯坦群的发现

孟德尔·萨克斯于1960年代发现了一种变换群,正是爱因斯坦所探求的,他将之命名为“爱因斯坦群”。[2]爱因斯坦群可以透过如下方式得到:

对不变的时空区间平方做分解

ds2 = gμν dxμ dxν

拆解为以四元数取值的ds以及其共轭四元数ds*

ds = qμ(xdxμ

qμ(x)为厄米四元数所组成的四维向量

注意道爱因斯坦群在狭义相对论极限(也就是平直时空极限)下可以趋近于庞加莱群,然而两者却永不相等。[3]

参考文献

  1. ^ Einstein, A., "A Generalization of the Relativistic Theory of Gravitation," Ann Math, 46, 4 (October 1945), 578–584
  2. ^ Sachs, M., "On the Most General Form of a Field Theory from Symmetry Principles," Nature, 46, 4 (11 April 1970), 138–139
  3. ^ Sachs, Mendel, Physics of the Universe, Imperial College Press, London, 2010, ISBN 978-1-84816-532-8