爱因斯坦群

爱因斯坦群（英语：Einstein group），是由美国物理学家孟德尔·萨克斯在其完成阿尔伯特·爱因斯坦未竟的统一场论时所发现的变换群，此一变换群也是爱因斯坦晚年所探求的目标之一。

爱因斯坦的陈述

阿尔伯特·爱因斯坦在研究期待中的统一场论时，探求过此一变换群，他写道：

“

在我看来，每个建立统一场论的尝试必须起始于一变换群，这变换群不能比四维座标的连续变换还狭义。而我们要以更狭隘群为基础的理论来扩展得到此群，想要成功是相当不容易的。

（Every attempt to establish a unified field theory must start, in my opinion, from a group of transformations which is no less general than that of the continuous transformations of the four coordinates. For we should hardly be successful in looking for the subsequent enlargement of the group for a theory based on a narrower group.^[1]）

”

庞加莱群

狭义相对论的变换群——庞加莱群，具有正交的性质，其反元素为自身的转置，从而引入了离散反射的效果。庞加莱群违背了上述爱因斯坦的格言：“这变换群不能比四维座标的连续变换还狭义。”特别来说，任意一对欧拉角θ_k与−θ_k是相依的，而劳仑兹提速（Lorentz boost）v_k/c与−v_k/c也是相依的。可自由变动的参数因此约化减少，从描述弯曲时空中所有变换的广义相对性原理∂x^μ′/∂x^ν的16个参数减少至庞加莱群的10个。

爱因斯坦群的发现

孟德尔·萨克斯于1960年代发现了一种变换群，正是爱因斯坦所探求的，他将之命名为“爱因斯坦群”。^[2]爱因斯坦群可以透过如下方式得到：

对不变的时空区间平方做分解

ds² = g_μν dx^μ dx^ν

拆解为以四元数取值的ds以及其共轭四元数ds*

ds = q_μ(x) dx^μ

而q_μ(x)为厄米四元数所组成的四维向量。

注意道爱因斯坦群在狭义相对论极限（也就是平直时空极限）下可以趋近于庞加莱群，然而两者却永不相等。^[3]

参考文献

^ Einstein, A., "A Generalization of the Relativistic Theory of Gravitation," Ann Math, 46, 4 (October 1945), 578–584
^ Sachs, M., "On the Most General Form of a Field Theory from Symmetry Principles," Nature, 46, 4 (11 April 1970), 138–139
^ Sachs, Mendel, Physics of the Universe, Imperial College Press, London, 2010, ISBN 978-1-84816-532-8

[1] Einstein, A., "A Generalization of the Relativistic Theory of Gravitation," Ann Math, 46, 4 (October 1945), 578–584

[2] Sachs, M., "On the Most General Form of a Field Theory from Symmetry Principles," Nature, 46, 4 (11 April 1970), 138–139

[3] Sachs, Mendel, Physics of the Universe, Imperial College Press, London, 2010, ISBN 978-1-84816-532-8

[1]

[2]

[3]