几何变换

几何变换（geometric transformation）是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。具体来说，“几何变换是一个函数，其定义域与值域为点集合。几何变换最常见的定义域与值域为同时为R²，或同时为R³。其他的几何变换则要求须为一对一函数，使之有反函数^[1]。”可透过研究这些变换的方法来研究几何^[2]。

几何变换可以其操作集合的维度来分类（因此可分类出平面变换与空间变换等）。几何变换亦可依据其保留其性质来分类：

• 位移保留距离与方向角度；
• 等距同构保留距离与角度^[3]；
• 相似保留距离间的比例；
• 仿射变换保留平行^[3]；
• 投影变换保留共线性^[4]；

以上每种变换均包含前一种变换^[4]。

• 反演在平面上保留所有线及圆所组成的集合（但可能替换线与圆），而莫比乌斯变换则保留三维空间内的所有平面与球。

以法国地图为例：

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  原图案

• 

  等距同构

• 

  相似

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  仿射变换

• 

  投影变换

• 

  反演

• 微分同胚为一阶仿射的变换；前面所有变换都是微分同胚的特例^[5]。

• 共形变换保留角度在一阶的相似。

• 保积变换保留在平面上的面积，或在三维空间上的容量^[6]。该变换为行列式为1的一阶仿射变换。

• 同胚保留点的邻域。

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  共形变换

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  保积变换

• 

  微分同胚

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  同胚

相同类型的群变换可能是其他变换群的子群。