平分线

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

即如图所示：

${\displaystyle OM}$ 平分${\displaystyle {\angle }AOB,P}$ 为${\displaystyle OM}$ 上一点${\displaystyle ,PE{\perp }OA}$ 于${\displaystyle E,PF{\perp }OB}$ 于${\displaystyle F,}$ 

则${\displaystyle PE=PF.}$ 

该性质的证明

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

${\displaystyle {\because \quad }OM}$ 平分${\displaystyle {\angle }AOB,}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.}$ 

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$ 

在${\displaystyle {\triangle }OEP}$ 与${\displaystyle {\triangle }OFP}$ 中${\displaystyle ,}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad }PE=PF.}$ 

证毕。

判定

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一点至角两边距离相等，则该点在该角的角平分线上。

即：

已知${\displaystyle {\angle }AOB,P}$ 为${\displaystyle OM}$ 上一点${\displaystyle ,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.}$ 

如果${\displaystyle PE=PF,}$ 那么${\displaystyle OM}$ 平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$ 

证明

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$ 

在${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OEP}$ 与${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OFP}$ 中${\displaystyle ,}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,}$ 

${\displaystyle {\therefore \quad }OM}$ 平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$ 

证毕。

任意三角形ABC中，${\displaystyle {\angle }ABC}$ 、${\displaystyle {\angle }BCA}$ 、${\displaystyle {\angle }CAB}$  角平分线交于一点I，则我们称此点I为三角形ABC的内心。

三角形的内心恒在图形内部，且到三角形之三边距离等长

• 角平分线长公式
• 垂直平分线
• 中线
• 高线