隐含狄利克雷分布

LDA是一种典型的词袋模型，即它认为一篇文档是由一组词构成的一个集合，词与词之间没有顺序以及先后的关系。一篇文档可以包含多个主题，文档中每一个词都由其中的一个主题生成。

另外，正如Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，狄利克雷分布作为多项式分布的共轭先验概率分布。因此正如LDA贝斯网络结构中所描述的，在LDA模型中一篇文档生成的方式如下:

• 从狄利克雷分布${\displaystyle \alpha }$ 中取样生成文档i的主题分布${\displaystyle \theta _{i}}$ 
• 从主题的多项式分布${\displaystyle \theta _{i}}$ 中取样生成文档i第j个词的主题${\displaystyle z_{i,j}}$ 
• 从狄利克雷分布${\displaystyle \beta }$ 中取样生成主题${\displaystyle z_{i,j}}$ 的词语分布${\displaystyle \phi _{z_{i,j}}}$ 
• 从词语的多项式分布${\displaystyle \phi _{z_{i,j}}}$ 中采样最终生成词语${\displaystyle w_{i,j}}$ 

因此整个模型中所有可见变量以及隐藏变量的联合分布是

${\displaystyle p(w_{i},z_{i},\theta _{i},\Phi |\alpha ,\beta )=\prod _{j=1}^{N}p(\theta _{i}|\alpha )p(z_{i,j}|\theta _{i})p(\Phi |\beta )p(w_{i,j}|\phi _{z_{i,j}})}$ 

最终一篇文档的单词分布的最大似然估计可以通过将上式的${\displaystyle \theta _{i}}$ 以及${\displaystyle \Phi }$ 进行积分和对${\displaystyle z_{i}}$ 进行求和得到

${\displaystyle p(w_{i}|\alpha ,\beta )=\int _{\theta _{i}}\int _{\Phi }\sum _{z_{i}}p(w_{i},z_{i},\theta _{i},\Phi |\alpha ,\beta )}$ 

根据${\displaystyle p(w_{i}|\alpha ,\beta )}$ 的最大似然估计，最终可以通过吉布斯采样等方法估计出模型中的参数。

在LDA最初提出的时候，人们使用EM算法进行求解，后来人们普遍开始使用较为简单的Gibbs Sampling，具体过程如下：

• 首先对所有文档中的所有词遍历一遍，为其都随机分配一个主题，即${\displaystyle z_{m,n}=k\sim Mult(1/K)}$ ，其中m表示第m篇文档，n表示文档中的第n个词，k表示主题，K表示主题的总数，之后将对应的${\displaystyle n_{m}^{k}+1}$ ，${\displaystyle n_{m}+1}$ ，${\displaystyle n_{k}^{t}+1}$ ，${\displaystyle n_{k}+1}$ ，他们分别表示在m文档中k主题出现的次数，m文档中主题数量的和，k主题对应的t词的次数，k主题对应的总词数。
• 之后对下述操作进行重复迭代。
• 对所有文档中的所有词进行遍历，假如当前文档m的词t对应主题为k，则${\displaystyle n_{m}^{k}-1}$ ，${\displaystyle n_{m}-1}$ ，${\displaystyle n_{k}^{t}-1}$ ，${\displaystyle n_{k}-1}$ ，即先拿出当前词，之后根据LDA中topic sample的概率分布sample出新的主题，在对应的${\displaystyle n_{m}^{k}}$ ，${\displaystyle n_{m}}$ ，${\displaystyle n_{k}^{t}}$ ，${\displaystyle n_{k}}$ 上分别+1。

${\displaystyle p(z_{i}=k|z_{-i},w)}$ ∝${\displaystyle (n_{k,-i}^{(t)}+\beta _{t})(n_{m,-i}^{(k)}+\alpha _{k})/(\sum _{t=1}^{V}n_{k,-i}^{(t)}+\beta _{t})}$ 

• 迭代完成后输出主题-词参数矩阵φ和文档-主题矩阵θ

${\displaystyle \phi _{k,t}=(n_{k}^{(t)}+\beta _{t})/(n_{k}+\beta _{t})}$ 

${\displaystyle \theta _{m,k}=(n_{m}^{(k)}+\alpha _{k})/(n_{m}+\alpha _{k})}$